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partie mathématique.

mais à l'intégrale définie

$\int {\frac {dy}{f(x,y)-f(x,F\,x)}},$

l'intégration étant effectuée par rapport à $y$ seule et à partir de $y=F(x).$ Suivant que cette intégration donnera pour résultat une quantité finie ou infime $y=F(x)$ sera une intégrale singulière ou une intégrale particulière. Ainsi l'on peut affirmer que la valeur $y=x$ vérifie, comme intégrale singulière, l'équation différentielle

$dy=\left[1+(y-x)^{\frac {1}{2}}\right]dx\,;$

et, comme intégrale particulière, les deux suivantes :

${\begin{aligned}dy=&\left[1+(y-x)\right]dx,\\dy=&\left[1+(y-x)\log(y-x)\right]dx,\end{aligned}}$

attendu qu'en effectuant les intégrations relatives à $y,$ à partir de $y=x,$ on trouve

${\begin{aligned}&\int {\frac {dy}{(y-x)^{\frac {1}{2}}}}=2(y-x)^{\frac {1}{2}},\\&\int {\frac {dy}{y-x}}=\log(y-x)-\log 0=\infty ,\\&\int {\frac {dy}{(y-x)\log(y-x)}}=\log \log {\frac {1}{y-x}}-\log \log {\frac {1}{0}}=-\infty .\end{aligned}}$

Quant à l'intégration des équations aux différences partielles, il ne semble pas possible, dans l'état actuel de l'analyse, d'assigner les caractères auxquels on doit reconnaître leurs intégrales générales, si ce n'est pour les équations du premier ordre, et pour celles qui s'intègrent par les mêmes procédés.

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