comportent les intégrales générales des équations différentieiles entre deux ou plusieurs variables, et pour démontrer l’existence de ces mêmes intégrales, il suffit d’employer les méthodes que j’expose depuis plusieurs années dans mes leçons à l’École polytechnique. Ces méthodes seront l’objet d’un nouveau Mémoire, La détermination du nombre des constantes arbitraires, en particulier, repose sur le théorème suivant.
Si une fonction de la variable s’évanouit pour le rapport de cette fonction à sa dérivée, savoir,
s’évanouira lui-même quand on fera décroître la variable x au-delà de toute limite.
J’ajouterai que la méthode dont je fais usage pour démontrer l’existence des intégrales dans tous les cas possibles, sert en même temps à calculer, avec telle approximation que l’on veut, les valeurs des intégrales particulières correspondantes à des valeurs données des variables.
Pour distinguer, relativement aux équations différentielles du premier ordre, les intégrales singulières d’avec les intégrales particulières, il suffit d’appliquer la règle que j’ai fait connaître dans un Mémoire lu à l’Institut le 13 mai 1816. D’après cette règïe, que l’on démontre rigoureusement sans le secours des séries, pour juger si une certaine valeur de par exemple,
est une intégrale particulière ou singulière de l’équation différentielle
on doit recourir, non pas à la fonction dérivée
