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partie mathématique.

2.^o une ou plusieurs dérivées partielles de ɀ, relatives à $y.$ Dans ce cas, la valeur générale de ɀ pourra être représentée par une série ordonnée suivant les puissances ascendantes de $x,$ et qui ne renfermera d’arbitraire que la fonction de $y,$ à laquelle ɀ est censée se réduire pour $x=0.$ Par conséquent, si cette fonction est connue pour toutes les valeurs possibles de $y,$ il semble que la valeur de ɀ sera complètement déterminée. Néanmoins il n’en est pas ainsi. Concevons en effet que l’équation donnée soit la suivante :

(4)

${\frac {d{\text{ɀ}}}{x}}=\left(1+{\frac {1}{y^{2}}}\right){\frac {d^{2}{\text{ɀ}}}{dy^{2}}}-{\frac {1}{y^{3}}}{\frac {d{\text{ɀ}}}{y}}\,;$

et désignons par $\varphi (y)$ la fonction de $y,$ à laquelle ɀ doit se réduire par $x=0.$ La valeur de ɀ, déduite de l’équation (4) par le développement en série, prendra la forme,

(5)

${\text{ɀ}}=\varphi (y)+{\frac {x}{1}}\left[\left(1+{\frac {1}{y^{2}}}\right){\frac {d^{2}\varphi (y)}{dy^{2}}}{\frac {1}{y^{3}}}{\frac {d\varphi (y)}{dy}}\right]+\&c.\ldots$

Tous les termes de la série précédente étant des fonctions déterminées des variables $x$ et $y,$ lorsque la fonction $\varphi (y)$ est elle même déterminée, il semble en résulter qu’une seule valeur de ɀ remplira la double condition de vérifier l’équation aux différences partielles proposées, et de se réduire à $\varphi (y)$ pour $x=0.$ Néanmoins il est facile de s’assurer que si l’on satisfait aux deux conditions énoncées par une certaine valeur

(6)

${\text{ɀ}}=\chi (x,y),$

on y satisfera encore en attribuant à ɀ la valeur plus générale

(7)

${\text{ɀ}}=\chi (x,y)+cx^{-{\frac {1}{2}}}e^{-{\frac {1+y^{2}}{4x}}},$

dans laquelle $c$ désigne une constante arbitraire.

Après avoir montréi’insuffisance des méthodes d’intégration fondées sur le développement en séries, il me reste à dire en peu de mots ce qu’on peut leur substituer.

Pour déterminer le nombre des constantes arbitraires que