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histoire de l’académie,

des propositions générales établies par le moyen des séries. Nous nous contenterons de citer à ce sujet les exemples qui suivent.

Soient                (2) $\qquad dy=f(x,y).dx$

une équation différentielle entre les variables $x,y\,;$ et

$y=F(x)$

une valeur de $y$ propre à vérifier cette équation. On démontre, parle moyen des séries, que cette valeur de $y$ est une intégrale singulière toutes les fois qu’elle rend infini le coefficient différentiel

${\frac {df(x,y)}{dy}}.$

Mais cette proposition n’est pas toujours vraie. Ainsi l’on satisfait à l’équation différentielle

(3)

$dy=\left[1+(y-x)\log(y-x)\right]dx,$

par la valeur $y=x,$ qui rend infinie la fonction

${\frac {d\left[1+(y-x)\log(y-x)\right]}{dy}}=1+\log(y-x)\,;$

et cependant $y=x,$ au lieu d’être une intégrale singulière, est tout simplement une intégrale particulière, puisqu’elle se trouve comprise dans l’intégrale générale, savoir :

$\log(y-x)=c.e^{x}.$

C’est encore par le moyen des séries que l’on détermine le plus souvent le nombre de constantes ou de fonctions arbitraires que doit renfermer l’intégrale générale d’une équation différentielle, ou aux différences partielles. Toutefois, ce mode de détermination ne saurait être considéré comme suffisamment exact. Supposons, pour fixer les idées, qu’une équation linéaire aux différences partielles renferme avec les variables indépendantes $x,y,$ et la variable principale ɀ, 1.^o la dérivée partielle du premier ordre de ɀ, par rapport à $x\,;$