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histoire de l’académie,

où les quantités $f(0),\,f'(0),\,f''(0),$ &c. s'évanouissent toutes à-la-fois. Dans cette hypothèse, on devra, ce semble, conclure de l'équation (1) que la fonction $f(x)$ s'évanouit elle-même. Néanmoins cette conclusion peut n'être pas exacte. En effet, si l'on prend

$f(x)=e^{-{\frac {1}{x^{2}}}},$

on trouvera

$f(0)=0,\quad f'(0)=0,\quad f''(0)=0,\quad \&c.\ldots$

Il en serait encore de même, si l'on supposait

$f(x)=e^{-\left({\frac {1}{\sin .x}}\right)^{2}},$

ou bien

$f(x)=e^{-{\frac {1}{x^{2}\left(a+bx+cx^{2}+\ldots \right)}}},$

$a$ désignant une constante positive, et $a+bx+cx^{2}+\&c.\ldots$ une fonction entière de $x\,;$ ou simplement

$f(x)=e^{-{\frac {1}{x}}},$

la variable $x$ étant assujettie à demeurer constamment positive, &c. On peut donc trouver pour $f(x)$ une infinité de fonctions différentes dont les développement en séries ordonnées suivant les puissances acendantes de $x,$ se réduisent à zéro.

On serait naturellement porté à croire qu'étant données les quantités $f(0),\,f'(0),\,f''(0)\ldots ,$ l'équation (1) fera du moins connaître la valeur de $f(x)$ toutes les fois que la série comprise dans le second membre restera convergente. Néanmoins il n'en est pas ainsi. En effet, nommons $\varphi (x)$ une fonction développable par le théorème de Maclaurin en série convergente, et, de plus, équivalente à la somme de la