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simultanées des deux sphères changeront nécessairement la direction naturelle de t’aiguille horizontale, à moins que leurs centres ne soient situés dans le même plan horizontal que cette aiguille.

Cette condition remplie, les deux dernières équations $(c)$ seront satisfaites. Si l’on fait ensuite

$x=r\cos v,\quad y=r\sin v,\quad x_{1}=r_{1}\cos v_{1},\quad y_{1}=r_{1}\sin v_{1},$

de manière que $v$ et $v_{1}$ soient les angles que font les rayons vecteurs $r$ et $r_{1}$ des centres des sphères avec l’axe des $x$ positives, les deux premières deviendront

${\frac {ka^{3}}{r^{3}}}\left(\cos ^{2}v-\sin ^{2}v\right)=-{\frac {k_{1}a_{1}^{3}}{r_{1}^{3}}}\left(\cos ^{2}v_{1}-\sin ^{2}v_{1}\right),$

${\frac {ka^{3}}{r^{3}}}\cos v\sin v=-{\frac {k_{1}a_{1}^{3}}{r_{1}^{3}}}\cos v_{1}\sin v_{1}.$

Multipliant la seconde par $2{\sqrt {-1}},$ et l’ajoutant à la première, on aura

${\frac {ka^{3}}{r^{3}}}\left(\cos v+\sin v{\sqrt {-1}}\right)^{2}=-{\frac {k_{1}a_{1}^{3}}{r_{1}^{3}}}\left(\cos v_{1}+\sin v_{1}{\sqrt {-1}}\right)^{2}\,;$

d’où l’on tire, en extrayant les racines carrées des deux membres, et égalant séparément entre elles les parties réelles et les parties imaginaires,

${\begin{aligned}{\sqrt {\frac {ka^{3}}{r^{3}}}}\cos v&=\pm {\sqrt {\frac {k_{1}a_{1}^{3}}{r_{1}^{3}}}}\sin v_{1},\\{\sqrt {\frac {ka^{3}}{r^{3}}}}\sin v&=\mp {\sqrt {\frac {k_{1}a_{1}^{3}}{r_{1}^{3}}}}\cos v_{1}\,;\end{aligned}}$

les signes supérieurs ayant lieu ensemble ainsi que les signes inférieurs. Ces deux nouvelles équations donnent

${\frac {ka^{3}}{r^{3}}}={\frac {k_{1}a_{1}^{3}}{r_{1}^{3}}},\qquad v=v_{1}\mp {\frac {1}{2}}\pi .$

La première condition est la même, d’après le n.° 15, que si l’action de l’une des sphères devait remplacer celle de l’autre identiquement mais, en vertu de la seconde con-