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que la partie de cette aiguille qui aboutit au pôle boréal, fera avec sa direction naturelle, nous aurons

$\operatorname {tang} \varepsilon ={\frac {Y}{\alpha +X}},$

c’est-à-dire,

$\operatorname {tang} \varepsilon ={\frac {2ga^{2}\sin 2v}{u^{2}+2ga^{2}\cos 2v}},$

en supposant, toutefois, la longueur de cette aiguille très-petite par rapport à la distance $u$ de son milieu à l’aiguille aimantée par influence. Il y aura un cas particulier dans lequel la petite aiguille n’affectera plus de direction déterminée il faudra pour cela que les deux composantes $Y$ et $X+\alpha$ soient séparément nulles ; ce qui exige qu’on ait

$v={\frac {1}{2}}\pi \qquad {\text{et}}\qquad u=a{\sqrt {2g}}.$

2.^o La force qui produit l’aimantation de l’aiguille $A$ étant toujours l’action de la terre, quand son axe sera parallèle à cette force on aura $\alpha =0,$ $\beta =0\,;$ et si l’axe des $z$ positives est dirigé vers le pôle magnétique boréal, la quantité $\gamma$ sera positive ou négative selon que la particule située. au point $M$ sera boréale ou australe. En appelant, comme précédemment, $u$ la distance de ce point à l’axe de l’aiguille, et $v$ t’angle que fait cette ligne avec l’axe des $x,$ les valeurs de $X,Y,Z,$ relatives à ce nouveau cas, seront

${\begin{aligned}X&={\frac {k'\gamma z\cos v}{u}},\\Y&={\frac {k'\gamma z\sin v}{u}},\\Z&=-k'\gamma \left(\log {\frac {2c}{u}}-1\right).\end{aligned}}$

La quantité $k'$ diminuera Indéfini ment à mesure que la longueur de l’aiguille augmentera, et sera nulle à la limite $c=\infty \,;$ ce qui fera disparaître ces trois forces, excepté dans