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${\begin{aligned}4\pi \beta _{_{\scriptscriptstyle {I}}}&=-{\frac {3\beta }{1+{\frac {1}{2}}k}},\\4\pi \gamma _{_{\scriptscriptstyle {I}}}&=-{\frac {3\gamma }{1-k+{\cfrac {3ka^{2}}{c^{2}}}\left(\log {\cfrac {2c}{a}}-1\right)}}.\end{aligned}}$

On aura aussi $l'h=c,$ et, toute réduction faite,

$Q=-{\frac {3ka^{2}(\alpha x+\beta y)}{\left(1+{\frac {1}{2}}k\right)h^{2}}}-{\frac {3ka^{2}\gamma z\left(\log {\cfrac {2c}{h}}-1\right)}{(1-k)c^{2}+3ka^{2}\left(\log {\cfrac {2c}{a}}-1\right)}}.$

Supposons, en outre que la :distance $r$ du point $M$ au milieu de l’aiguille soit très-petite par rapport à $c\,;$ sa distance ${\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ à l’axe de l’aiguille, divisée par $c,$ sera aussi une très-petite fraction ; et en négligeant son carré, la valeur de $h$ se réduira à

$h={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\,;$

au moyen de quoi, les expressions de $X,Y,Z,$ déduites de la valeur précédente de $Q,$ seront, à très-peu près,

${\begin{aligned}X&={\frac {3ka^{2}\left[\alpha \left(x^{2}-y^{2}\right)+2\beta xy\right]}{\left(1+{\frac {1}{2}}k\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}+{\frac {k'\gamma zx}{x^{2}+y^{2}}},\\Y&={\frac {3ka^{2}\left[\beta \left(y^{2}-x^{2}\right)+2\alpha xy\right]}{\left(1+{\frac {1}{2}}k\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}+{\frac {k'\gamma zy}{x^{2}+y^{2}}},\\Z&=-k'\gamma \left(\log {\frac {2c}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}-1\right),\end{aligned}}$

en, faisant, pour abréger,

${\frac {3ka^{2}}{(1-k)c^{2}+3ka^{2}\left(\log {\cfrac {2c}{a}}-1\right)}}=k'.$

(14) Les cas principaux que ces formules renferment et