Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 5.djvu/523

(13) Examinons actuellement le cas où. les deux axes égaux de l’ellipsoïde de révolution sont plus petits que son troisième axe. Soit donc $a=b,$ et toujours $c>a.$ Nous aurons

$\lambda =0,\qquad F={\frac {\sqrt {1+\lambda ^{'2}}}{2\lambda ^{'2}}}-{\frac {1}{2\lambda ^{'3}}}\log \left(\lambda '+{\sqrt {1+\lambda ^{'2}}}\right),$

${\frac {d.\lambda F}{d\lambda }}=F,\qquad {\frac {d.\lambda 'F}{d\lambda '}}=-{\frac {1}{\lambda ^{'2}{\sqrt {1+\lambda ^{'2}}}}}+{\frac {1}{2\lambda ^{'3}}}\log \left(\lambda '+{\sqrt {1+\lambda ^{'2}}}\right)\,;$

et de même

$l=0,\qquad f={\frac {\sqrt {1+l^{'2}}}{2l^{'2}}}-{\frac {1}{2l^{'3}}}\log \left(l'+{\sqrt {1+l^{'2}}}\right),$

${\frac {d.lf}{dl}}=f,\qquad {\frac {d.l'f}{dl'}}=-{\frac {1}{l^{'2}{\sqrt {1+l^{'2}}}}}+{\frac {1}{2l^{'3}}}\log \left(l'+{\sqrt {1+l^{'2}}}\right).$

En même temps l’équation (8) deviendra

$x^{2}+y^{2}+{\frac {h^{2}z^{2}}{h^{2}+c^{2}-a^{2}}}=h^{2}\,;$

d’où l’on tire

$h^{2}={\frac {1}{2}}\left(r^{2}-c^{2}+a^{2}\right)+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\left(r^{2}-c^{2}+a^{2}\right)+4\left(c^{2}-a^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)}},$

en prenant le signe $+$ devant le radical, afin que la valeur de $h^{2}$ soit réelle : $r$ représente ici, comme précédemment, la distance du point $M$ au centre de l’ellipsoïde.

Il ne restera, plus que des substitutions à faire pour former les valeurs des forces $X,Y,Z\,;$ mais nous considérerons spécialement le cas d’un ellipsoïde très-alongé, qui pourra représenter une aiguille dont $a$ serait le rayon à son milieu et $c$ sa demi-longueur.

Dans ce cas, la fraction ${\frac {a}{c}}$ sera très-petite en négligeant son carré on aura ${\frac {1}{\lambda '}}={\frac {a}{c}},$ et les équations (7) donneront

$4\pi \alpha _{_{\scriptscriptstyle {I}}}=-{\frac {3\alpha }{1+{\frac {1}{2}}k}},$