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On aura de même $l'=l={\frac {1}{h}}{\sqrt {c^{2}-a^{2}}},$ et

$f={\frac {h^{2}}{c^{2}-a^{2}}}\left(1-{\frac {1}{l}}\,\operatorname {arc} (\operatorname {tang} =l)\right),$

${\frac {d.lf}{dl}}={\frac {d.l'f}{dl'}}={\frac {h^{2}}{2\left(c^{2}-a^{2}\right)}}\left({\frac {1}{l}}\,\operatorname {arc} (\operatorname {tang} =l)-{\frac {1}{1+l^{2}}}\right)\,;$

par conséquent,

${\begin{aligned}Q=&{\frac {4\pi kac^{2}}{h\left(c^{2}-a^{2}\right)}}\left[x\alpha _{_{\scriptscriptstyle {I}}}\left(1-{\frac {1}{l}}\,\operatorname {arc} (\operatorname {tang} =l)\right)\right.\\&\left.+{\frac {1}{2}}(y\beta _{_{\scriptscriptstyle {I}}}+z\gamma _{_{\scriptscriptstyle {I}}})\left({\frac {1}{l}}\,\operatorname {arc} (\operatorname {tang} =l)-{\frac {1}{1+l^{2}}}\right)\right]\,;\end{aligned}}$

la quantité $h$ étant une fonction de $x$ et de $r,$ déterminée par l’équation :

$x^{2}+{\frac {\left(r^{2}-x^{2}\right)h^{2}}{h^{2}+c^{2}-a^{2}}}=h^{2}\,;$

d’où l’on tire

$h^{2}={\frac {1}{2}}\left(r^{2}-c^{2}+a^{2}\right)+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\left(r^{2}-c^{2}+a^{2}\right)^{2}+4\left(c^{2}-a^{2}\right)x^{2}}}\,;$

où l’on a pris le signe $+$ devant le radical, afin que la valeur de $h^{2}$ soit réelle.

(11) Supposons maintenant que $a$ soit très-petit par rapport à $c,$ de manière que l’ellipsoïde soit très-aplati et puisse représenter une plaque circulaire dont l’épaisseur décroîtrait du centre à la circonférence sa plus grande valeur étant égale à $2a,$ et le diamètre de la plaque égal à $2c.$

En négligeant le carré de ${\frac {a}{c}},$ on aura

${\frac {\lambda a}{c}}=1,\qquad \operatorname {arc} (\operatorname {tang} =\lambda )={\frac {1}{2}}\pi -{\frac {a}{c}}\,;$

et les équations (10) donneront