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ellipsoïde quelconque, la distance $r$ du point $M$ à son centre est très-grande par rapport à ses axes, et que l’on néglige les carrés des fractions ${\frac {a}{r}},\,{\frac {b}{r}},\,{\frac {c}{r}}.$ On a aussi, dans ce cas, $l=0,$ $l'=0,$ $f={\frac {1}{3}},$ et les valeurs de $X,Y,Z,$ sont des fonctions de $x,y,z,$ de la même forme que dans le cas de la sphère.

(10) Il suffit que deux des trois quantités $a,b,c,$ soient égales, et que $A$ soit un ellipsoïde de révolution, pour qu’on puisse obtenir, sous forme Unie, les intégrales représentées par $f$ et $F\,;$ mais leur expression est différente selon que cet ellipsoïde est aplati ou alongé.

Dans le premier cas, les deux axes égaux sont les plus grands on a donc $b=c,$ par suite $\lambda '=\lambda ,$ et en effectuant l’intégration,

$F=\int _{0}^{1}{\frac {u^{2}du}{\left(1+\lambda ^{2}u^{2}\right)}}={\frac {1}{\lambda ^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{3}}}\operatorname {arc} (\operatorname {tang} =\lambda ).$

Les différences partielles de $F$ par rapport à $\lambda$ et $\lambda '$ qui entrent dans les équations (7) seront égales entre elles et à la moitié de celle de cette valeur de $F$ par rapport à $\lambda ,$ c’est-à-dire, égales à

$-{\frac {1}{\lambda ^{3}}}-{\frac {1}{2\lambda ^{3}\left(1+\lambda ^{2}\right)}}+{\frac {3}{2\lambda ^{4}}}\operatorname {arc} (\operatorname {tang} =\lambda )\,;$

au moyen de quoi ces équations deviendront

$\left.{\begin{aligned}\alpha +4\pi \alpha _{_{\scriptscriptstyle {I}}}\left[{\frac {1-k}{3}}+{\frac {kc^{2}}{c^{2}-a^{2}}}\left(1-{\frac {1}{\lambda }}\operatorname {arc} (\operatorname {tang} =\lambda )\right)\right]=0,\\\beta +4\pi \beta _{_{\scriptscriptstyle {I}}}\left[{\frac {1-k}{3}}+{\frac {kc^{2}}{2\left(c^{2}-a^{2}\right)}}\left({\frac {1}{\lambda }}\operatorname {arc} (\operatorname {tang} =\lambda )-{\frac {1}{1+\lambda ^{2}}}\right)\right]=0,\\\gamma +4\pi \gamma _{_{\scriptscriptstyle {I}}}\left[{\frac {1-k}{3}}+{\frac {kc^{2}}{2\left(c^{2}-a^{2}\right)}}\left({\frac {1}{\lambda }}\operatorname {arc} (\operatorname {tang} =\lambda )-{\frac {1}{1+\lambda ^{2}}}\right)\right]=0.\end{aligned}}\right\}$(10)