nues, il ne restera qu’à trouver la valeur de l’intégrale
relative à un point
extérieur, pour avoir au moyen des équations (3), les composantes
de l’action de
sur ce point ; mais on obtiendra plus facilement les valeurs de ces forces en considérant ainsi que nous l’avons pratiqué à l’égard des points intérieurs la couche dont l’épaisseur normale est
comme la différence infiniment petite entre deux ellipsoïdes homogènes divisée par une constante infiniment petite ; ce qui donne au quotient une valeur finie.
(7) Pour calculer de cette manière les valeurs de
désignons par
une quantité positive donnée par l’équation
![{\displaystyle x^{2}+{\frac {h^{2}y^{2}}{h^{2}+b^{2}-a^{2}}}+{\frac {h^{2}z^{2}}{h^{2}+c^{2}-a^{2}}}=h^{2},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9eea1903f17fe4112c43e503af9713cc0c63988)
(8)
qui admet toujours une racine réelle, et n’en admet qu’une seule, les différences
et
étant supposées positives ou nulles. Faisons ensuite, pour abréger,
![{\displaystyle {\frac {b^{2}-a^{2}}{h^{2}}}=l^{2},\qquad {\frac {c^{2}-a^{2}}{h^{2}}}=l^{'2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c588f640007e679f62f39b7e3e7ec953eecb5851)
![{\displaystyle \int {\frac {u^{2}du}{\sqrt {\left(1+l^{2}u^{2}\right)\left(1+l^{'2}u^{2}\right)}}}=f\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b06a40a7a2e6c9a99ddd916572eebab341636aae)
l’intégrale étant prise depuis
jusqu’à
les composantes parallèles aux axes des
de l’action exercée sur le point extérieur
par l’ellipsoïde entier
regardé comme homogène, seront[1]
![{\displaystyle -{\frac {4\pi abcxf}{h^{3}}},\qquad -{\frac {4\pi abcy}{h^{3}}}\,{\frac {d.lf}{dl}},\qquad -{\frac {4\pi abczf}{h^{3}}}\,{\frac {d.l'f}{dl'}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5909c1e94688236211c00594e1db7bb7083442bf)
On en déduira l’action sur le même point d’un autre ellip-
- ↑ Mécanique céleste, tome II, page 21.