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nues, il ne restera qu’à trouver la valeur de l’intégrale $\int {\frac {E'd\omega '}{\rho }},$ relative à un point $M$ extérieur, pour avoir au moyen des équations (3), les composantes $X,Y,Z,$ de l’action de $A$ sur ce point ; mais on obtiendra plus facilement les valeurs de ces forces en considérant ainsi que nous l’avons pratiqué à l’égard des points intérieurs la couche dont l’épaisseur normale est $E',$ comme la différence infiniment petite entre deux ellipsoïdes homogènes divisée par une constante infiniment petite ; ce qui donne au quotient une valeur finie.

(7) Pour calculer de cette manière les valeurs de $X,Y,Z,$ désignons par $h$ une quantité positive donnée par l’équation

$x^{2}+{\frac {h^{2}y^{2}}{h^{2}+b^{2}-a^{2}}}+{\frac {h^{2}z^{2}}{h^{2}+c^{2}-a^{2}}}=h^{2},\qquad$ (8)

qui admet toujours une racine réelle, et n’en admet qu’une seule, les différences $b^{2}-a^{2}$ et $c^{2}-a^{2}$ étant supposées positives ou nulles. Faisons ensuite, pour abréger,

${\frac {b^{2}-a^{2}}{h^{2}}}=l^{2},\qquad {\frac {c^{2}-a^{2}}{h^{2}}}=l^{'2},$

$\int {\frac {u^{2}du}{\sqrt {\left(1+l^{2}u^{2}\right)\left(1+l^{'2}u^{2}\right)}}}=f\,;$

l’intégrale étant prise depuis $u=0$ jusqu’à $u=1\,:$ les composantes parallèles aux axes des $x,y,z,$ de l’action exercée sur le point extérieur $M$ par l’ellipsoïde entier $A,$ regardé comme homogène, seront^[1]

$-{\frac {4\pi abcxf}{h^{3}}},\qquad -{\frac {4\pi abcy}{h^{3}}}\,{\frac {d.lf}{dl}},\qquad -{\frac {4\pi abczf}{h^{3}}}\,{\frac {d.l'f}{dl'}}.$

On en déduira l’action sur le même point d’un autre ellip-

1. Mécanique céleste, tome II, page 21.