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${\begin{aligned}{\frac {(x''-\alpha '-x')(x''-\alpha '+x')}{a^{2}}}&+{\frac {(y''-\beta '-y')(y''-\beta '+y')}{b^{2}}}\\&+{\frac {(z''-\gamma '-z')(z''-\gamma '+z')}{c^{2}}}=0\,;\end{aligned}}$

mettant à la place de $x'',\,y'',\,z'',$ leurs valeurs observant que $r''-r',$ $\alpha ',\,\beta ',\,\gamma ',$ sont des quantités infiniment petites et négligeant leurs carrés et leurs produits, on trouve

$\left({\frac {r''-r'}{r'}}\right)\left({\frac {x^{'2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{'2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{'2}}{c^{2}}}\right)-{\frac {\alpha 'x'}{a^{2}}}-{\frac {\beta 'y'}{b^{2}}}-{\frac {\gamma 'z'}{c^{2}}}=0\,;$

d’où l’on tire, en ayant égard à l’équation (4),

$r''-r'=\left(b^{2}c^{2}\alpha 'x'+a^{2}c^{2}\beta 'y'+a^{2}b^{2}\gamma 'z'\right){\frac {r'}{a^{2}b^{2}c^{2}}}.$

Or $r''-r'$ est l’épaisseur évaluée suivant le rayon vecteur $r',$ de la couche comprise entre les surfaces des deux ellipsoïdes que nous avons considérés et son expression coïncidant avec celle de $E_{_{\scriptscriptstyle {I}}}\delta$ du numéro précédent, il s’ensuit que $E_{_{\scriptscriptstyle {I}}}\delta$ est aussi l’épaisseur de cette couche au point $M'$ ce qu’il s’agissait de prouver.

(6) D’après la théorie connue des attractions des sphéroïdes elliptiques, les coefficiens que nous avons représentés par $C,\,C',\,C'',$ auront pour valeurs :

$C=-{\frac {4\pi bc}{a^{2}}}F,\qquad C'=-{\frac {4\pi bc}{a^{2}}}\,{\frac {d.\lambda F}{d\lambda }},\qquad C''=-{\frac {4\pi bc}{a^{2}}}\,{\frac {d.\lambda 'F}{d\lambda '}},$

en faisant, pour abréger,

${\frac {b^{2}-a^{2}}{a^{2}}}=\lambda ^{2},\qquad {\frac {c^{2}-a^{2}}{a^{2}}}=\lambda ^{'2},$

$\int {\frac {u^{2}du}{\sqrt {\left(1+\lambda ^{2}u^{2}\right)\left(1+\lambda ^{'2}u^{2}\right)}}}=F\,;$

supposant que $a$ soit le plus petit des trois demi axes et