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$\mathrm {AB} \,:$ l’onde résultante en $\mathrm {P}$ ne sera pareillement formée que par les ondes élémentaires parties de points tels que $n,\,n',$ assez rapprochés de $\mathrm {N}$ pour que les rayons $n\mathrm {P}$ et $n'\mathrm {P}$ soient presque parallèles à $\mathrm {NP} ,$ et les rayons d’une obliquité prononcée se détruiront mutuellement. Or il est évident que les divisions correspondantes à des différences d’une demi-ondulation, et qui seront inégales dans le voisinage du point $\mathrm {N} ,$ comme dans celui du point $\mathrm {F}$ suivront d’ailleurs la même loi de décroissement elles seront seulement plus petites dans le rapport de $\mathrm {\sqrt {NP}}$ à $\mathrm {\sqrt {FG}} \,:$ si donc on les subdivise les unes et les autres en petits élémens respectivement proportionnels à $\mathrm {\sqrt {NP}}$ et $\mathrm {\sqrt {FG}} ,$ elles en contiendront le même nombre de part et d’autre, et il y aura les mêmes différences de chemins parcourus entre les rayons envoyés par les élémens correspondans ; par conséquent, tous les systèmes d’ondes élémentaires apportés en $\mathrm {P}$ se trouveront dans les mêmes positions par rapport au point $\mathrm {P} ,$ que les systèmes d’ondes élémentaires envoyés en $\mathrm {G}$ par rapport à $\mathrm {G} \,:$ ainsi les deux systèmes d’ondes résultant en $\mathrm {P}$ et en $\mathrm {G}$ seront situés de la même manière relativement à ces points. En employant les formules d’interférences données dans le tome XI des Annales de physique et de chimie, pages 255, 256, 286, 287 et intégrant successivement suivant les deux dimensions, c’est-à-dire, parallèlement et perpendiculairement au plan de là figure, qui est ici le plan d’incidence, on trouve que le système d’ondes résultant est en arrière d’un quart d’ondulation relativement au système d’ondes élémentaires qui a suivi le plus court chemin. Mais nous n’avons pas besoin ici de connaître ces intégrales pour déterminer la direction des surfaces des ondes du système résultant car nous venons de voir qu’il doit se trouver situé de la même manière relativement à tous les points $\mathrm {P,\,G} ,$ &c. de $\mathrm {DC} \,:$ donc les surfaces de ses ondes seront parallèles à $\mathrm {DC} .$

Or, $\mathrm {\sin .ACD:\sin .BAC::AD:BC} \,;$ c’est-à-dire que les sinus dés angles que les ondes incidentes et réfractées font avec la surface réfringente sont dans le rapport constant des vîtesses de propagation de la lumière dans les deux milieux mais ces angles sont égaux à ceux ; que les normales aux ondes, c’est-à-dire les rayons, font avec la normale à la surface donc les sinus des angles d’incidence et de réfraction des rayons sont entre eux dans le rapport constant des vîtesses de propagation.

Pour compléter cette démonstration et faire voir que la théorie