Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 5.djvu/470

$z=r,$ et ajoutant les cartés des deux intégrales, on trouve pour le carré de lar résultante définitive,

$2\left({\frac {ab\lambda }{a+b}}\right)^{2}\left[1-\cos \left({\frac {\pi (a+b)r^{2}}{ab\lambda }}\right)\right].$

Afin de donner plus de clarté et de précision à cette expression de l’intensité de la lumière, il fautla rapporter à une autre intensité fixe prise pour unité, par exemple, à celle de chaque espèce d’ondes à l’unité de distance du point lumineux. Dans ce cas, $a+b=1.$ De plus, nous savons que, quand il n’y a plus d’écran, la résultante générale des ondes élémentaires est égale à fa, moitié de celle que donnerait une ouverture circulaire qui ne comprendrait que le petit cercle central, c’est-à-dire, pour laquelle la différence de chemins parcourus

${\frac {1}{2}}\,{\frac {(a+b)r^{2}}{ab}}$

serait égale à ${\frac {1}{2}}\lambda \,;$ en sorte qu’on aurait ${\frac {(a+b)r^{2}}{ab\lambda }}=1.$ Dans ce cas particulier, la formule précédente devient $2(ab\lambda )^{2}.$ Or une pareille ouverture donne un système d’ondes dans lequel les vîtesses absolues des molécules éthérées sont doubles de ce qu’elles seraient s’il n’y avait pas d’écran par conséquent, l’intensité de la lumière est quadruple, et celle qu’on aurait en supprimant le diaphragme, se trouve représentée par ${\frac {1}{2}}(ab\lambda )^{2},$ en la déduisant de la formule générale ci-dessus. Mais, puisque cette dernière intensité de lumière est celle que nous prenons pour unité, il faut modifier la formule générale de manière à trouver $1$ au lieu de ${\frac {1}{2}}(ab\lambda )^{2},$ quand il n’y a plus de diaphragme, c’est-à-dire qu’il faut la diviser par ${\frac {1}{2}}(ab\lambda )^{2}.$ Elle devient alors

${\frac {2}{(a+b)^{2}}}\left[1-\cos \left({\frac {\pi (a+b)r^{2}}{ab\lambda }}\right)\right].$

Cette formule nous conduit aux mêmes équations que nous avons trouvées plus haut pour déterminer les distances $b,$ qui répondent aux maxima et minima de lumière. En effet, on voit qu’elle devient nulle quand $\cos \left({\frac {\pi (a+b)r^{2}}{ab\lambda }}\right)$ est égal à $+1,$ ou égal à un nombre pair, et qu’elle atteint son maximum, au contraire, lorsque ${\frac {(a+b)r^{2}}{ab\lambda }}$ est un nombre impair. Dans le premier cas, on a

${\frac {(a+b)r^{2}}{ab\lambda }}=2\,;\quad {\frac {(a+b)r^{2}}{ab\lambda }}=4,$ &c. ;