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d’où l’on tire, $PO={\frac {MI(a+b)}{a}},$ et $P'O'={\frac {M'I'(a'+b')}{a'}}.$

Ces deux largeurs étant égales par hypothèse, on a :

${\frac {MI(a+b)}{a}}={\frac {M'I'(a'+b')}{a'}},\quad {\text{ou}}\quad {\frac {MI}{M'I'}}={\frac {a(a'+b')}{a'(a+b)}}.$

Or ${\frac {MI}{M'I'}}={\frac {c}{c'}}\,;$ on a donc ${\frac {c}{c'}}={\frac {a(a'+b')}{a'(a+b)}},$ ou $ac'(a'+b')=$ $a'c(a+b).$ Telle est la première équation de condition.

Il en faut encore une autre pour exprimer l’égalité des intervalles $AF$ et $A'F'.$ À cause de la petitesse des arcs $AG$ et $FH$, $A'G'$ et $F'H',$ on a,

$AF={\frac {AI^{2}}{2CI}}+{\frac {AI^{2}}{2OI}}={\frac {1}{9}}\left({\frac {c^{2}}{a}}+{\frac {c^{2}}{b}}\right)={\frac {1}{9}}.{\frac {c^{2}(a+b)}{ab}},$

de même $A'F'={\frac {1}{9}}.{\frac {c^{'2}(a'+b')}{a'b'}}\,;$

par conséquent, la seconde équation de condition est,

${\frac {c^{2}(a+b)}{ab}}={\frac {c^{'2}(a'+b')}{a'b'}}.$

En combinant ces deux équations on trouve les formules,

$b'={\frac {bc'}{c}}\quad {\text{et}}\quad a'={\frac {ab^{'2}}{b(a+b)-ab'}},\quad {\text{ou}}\quad a'={\frac {abc^{'2}}{c^{2}(a+b)-acc'}}$

au moyen desquelles on peut calculer les distances $a'$ et $b',$ la largeur $c'$ de la seconde ouverture étant donnée.

Il est à remarquer que l’équation $b'={\frac {bc'}{c}}$ donne la proportion, $b:b'::c:c'\,;$ c’est-à-dire qu’une des conditions de l’égalité des franges est que les distances du diaphragme au micromètre soient proportionnelles aux largeurs des ouvertures.

J’ai vérifié l’exactitude de cette loi par l’expérience suivante. La largeur de l’ouverture étant d’abord de deux millimètres,