l’inclinaison magnétique aux mêmes instans ; représentons par
et
les valeurs correspondantes de l’angle que nous avons désigné plus haut par
en sorte que
soit la quantité dont la direction naturelle de la boussole horizontale s’est rapprochée de l’est, dans l’intervalle de la première la seconde observation ; les autres quantités
contenues dans l’équation précédente, n’auront pas varié : si donc on forme d’après cette équation les valeurs de
et
et qu’on en prenne ensuite le rapport, en aura
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {tang} c'}{\operatorname {tang} c}}=\left({\frac {\cos(v+\alpha )-\sin(v+\alpha )\operatorname {tang} \delta '}{\cos(v-\alpha )-\sin(v-\alpha )\operatorname {tang} \delta }}\right)P,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7904de2da904f128396d31c2e2845f504531e515)
en faisant, pour abréger,
![{\displaystyle P={\cfrac {\left(1-{\cfrac {a^{3}}{r^{3}}}\right)\operatorname {tang} \delta \ -{\cfrac {3ka^{3}}{r^{3}}}\left[\cos(v-\alpha )-\sin(v-\alpha )\operatorname {tang} \delta \ \right]\sin ^{2}u\sin(v-\alpha )}{\left(1-{\cfrac {a^{3}}{r^{3}}}\right)\operatorname {tang} \delta '-{\cfrac {3ka^{3}}{r^{3}}}\left[\cos(v+\alpha )-\sin(v+\alpha )\operatorname {tang} \delta '\right]\sin ^{2}u\sin(v+\alpha )}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6111432f34fbbd91738455f360d8e02fa41faa7f)
Vu la petitesse de l’angle
cette formule se réduira à
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {tang} c'}{\operatorname {tang} c}}={\frac {\left[\cos(v+\alpha )-\sin(v+\alpha )\operatorname {tang} \delta '\right]\operatorname {tang} \delta \ }{\left[\cos(v-\alpha )-\sin(v-\alpha )\operatorname {tang} \delta \;\right]\operatorname {tang} \delta '}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90f9ba6e9d46eb53d0c490c7d506cf53e9e2ca59)
quand on aura eu soin de prendre l’angle
aussi très-petit, et que la distance
sera assez grande par rapport à
pour qu’on puisse négliger les produits
et
Elle aura alors l’avantage d’être indépendante de la quantité
et de la grandeur du rayon
de la sphère ; mais pour plus d’exactitude, il faudra toujours faire subir aux quantités
et
la correction relative à la longueur de l’aiguille, qui consistera à diviser chacune de ces tangentes par la valeur correspondante de
comme nous l’avons dit plus haut.