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l’action exercée par l’aiguille aimantée sur la sphère $A.$ Pour en calculer l’effet, il faut considérer les deux pôles comme des centres de forces extérieures que l’on comprendra dans la fonction $V$ du n.° 10. Nous supposerons donc qu’il y ait au dehors de $A$ une aiguille horizontale dont la position soit connue, ainsi que l’action plus ou moins énergique de chacun de ses pôles, et nous ferons ensuite coïncider cette aiguille avec celle dont on veut déterminer la déviation produite par l’action de $A.$

Désignons par $r_{1},\theta _{1}$ et $\psi _{1}$ les coordonnées du pôle boréal de l’aiguille qui agit sur $A$ rapportées aux centres de cette sphère et par $pmh^{2},$ l’action de ce pôle à une distance donnée $h\,;$ $m$ étant, comme précédemment, la constante relative à l’action de la terre, et $p,$ une autre constante positive, qui dépendra de la quantité de fluide libre appartenant à ce pôle. L’action du pôle austral, à la même distance $h,$ devra s’exprimer par $-pmh^{2}\,;$ si, de plus, on désigne par $r_{2},\theta _{2}$ et $\psi _{2},$ ses coordonnées polaires, la valeur de $V$ relative aux actions réunies de ces deux pôles sur le point de $A$ qui répond aux coordonnées quelconques $r,\theta$ et $\psi ,$ sera

${\begin{aligned}V&={\frac {pmh^{2}}{\left[r_{1}^{2}-2r_{1}r\left(\cos \theta _{1}\cos \theta +\sin \theta _{1}\sin \theta \cos(\psi _{1}-\psi )\right)+r^{2}\right]^{\frac {1}{2}}}}\\&-{\frac {pmh^{2}}{\left[r_{2}^{2}-2r_{2}r\left(\cos \theta _{2}\cos \theta +\sin \theta _{2}\sin \theta \cos(\psi _{2}-\psi )\right)+r^{2}\right]^{\frac {1}{2}}}}.\end{aligned}}$

Afin de ne pas trop compliquer les calculs nous supposerons que l’aiguille soit à une distance de $A$ telle, que l’on puisse négliger le carré et les puissances supérieures de ${\frac {r}{r_{1}}}$ et ${\frac {r}{r_{2}}}\,:$ nous aurons alors simplement

$V=V_{0}+rV_{1}\,;$

et les valeurs de $V_{0}$ et $V_{1}$ seront