Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 5.djvu/330

plan sera la direction naturelle de la boussole horizontale. Désignons par $c$ l’angle compris entre l’axe des $z$ et la verticale menée par le centre de $A$ et dirigée vers le zénith, lequel angle sera le complément de l’inclinaison magnétique. Soit $u$ l’angle que fait le rayon vecteur $r$ du point $M$ avec la même verticale et $v$ l’angle compris entre la projection de ce rayon sur le plan horizontal et l’axe des $x\,;$ de manière que $r,u$ et $v$ soient aussi les coordonnées polaires du point $M.$ Les angles $u$ et $v$ seront liés aux angles $\theta$ et $\psi$ par les équations :

$\left.{\begin{aligned}\cos \theta &=\cos u\cos c+\sin u\sin c\sin v,\\\cos u&=\cos \theta \cos c-\sin \theta \sin c\sin \psi ,\\\cos v&\,\sin u=\cos \psi \sin \theta ,\end{aligned}}\right\}\quad (4)$

dont la troisième est la suite des deux autres elles nous sont fournies par la considération du triangle sphérique, dont les trois sommets répondent au zénith au pôle magnétique boréal et au point $M,$ et dans lequel $\theta ,u$ et $c$ sont les trois côtés, et ${\frac {1}{2}}\pi -v,$ ${\frac {1}{2}}\pi +\psi ,$ les angles opposés à $\theta$ et à $u.$

Appelons encore $\zeta$ la composante verticale de la force qui agit sur le point $M\,;$ et désignons par $\zeta '$ et $\zeta ''$ ses composantes horizontales, dont la seconde soit parallèle à l’axe des $x,$ et par conséquent égale à ${\frac {dF}{dx}}\,;$ nous aurons

${\begin{aligned}\zeta \ \ &=-m\cos c+mk\left(\cos c\left(1-3\cos ^{2}\theta \right)+3\sin c\cos \theta \sin \theta \sin \psi \right){\frac {a^{3}}{r^{3}}},\\\zeta '\ &=-m\sin c+mk\left(\sin c\left(1-3\cos ^{2}\theta \right)-3\cos c\cos \theta \sin \theta \sin \psi \right){\frac {a^{3}}{r^{3}}},\\\zeta ''&=-{\frac {3mka^{3}\cos \theta \sin \theta \cos \psi }{r^{3}}}.\end{aligned}}$

La résultante des deux forces horizontales fera, avec la direction de $\zeta ',$ un angle $\delta$ dont la tangente sera