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$F=V-\left({\frac {a^{3}}{r^{2}}}V_{1}+{\frac {a^{5}}{r^{3}}}V_{2}+\ldots +{\frac {a^{2i+1}}{r^{i+1}}}V_{i}+\&c.\right)$

$-{\frac {4\pi (1-k)}{3}}\left[{\frac {1}{r^{2}}}(a^{3}H_{1}+G_{1})+{\frac {1}{r^{3}}}(a^{5}H_{2}+G_{2})+\ldots \right.$

$\left.\ldots +{\frac {1}{r^{2i+1}}}\left(a^{2i+1}H_{i}+G_{i}\right)+\&c.\right].$

2.^o Le point $M$ étant compris dans la partie vide de $A,$ on aura $r<b$ et $<a.$ Le premier et le troisième terme de $F$ devront se développer suivant les puissances croissantes de $r,$ comme dans l’équation (2) le coefficient de $r^{i},$ dans le dévefoppement de leur somme, sera équivalent à

$-{\frac {4\pi (1-k)}{3}}H_{i},$

en vertu de la première équation (3) et à cause que ce coefficient est égai à $V_{0},$ dans le cas de $i=0,$ on aura

$V+ka^{2}\iint {\frac {1}{\rho }}\,{\frac {d\phi '}{dr'}}\sin \theta 'd\theta 'd\psi '$

$=V_{0}-{\frac {4\pi (1-k)}{3}}\left(rH_{1}+r^{2}H_{2}+r^{3}H_{3}+\&c.\right).$

Il faudra aussi développer, suivant les puissances croissantes de $r,$ la quantité ${\frac {1}{\rho '}}$ contenue dans le quatrième terme de $F\,;$ on aura donc

${\frac {1}{\rho '}}={\frac {1}{b}}+{\frac {r}{b^{2}}}Y''_{1}+{\frac {r^{2}}{b^{3}}}Y''_{2}+{\frac {r^{3}}{b^{4}}}Y''_{3}+\&c.\,;$

au moyen de quoi le coefficient de $r^{i},$ dans le développement de ce terme, sera

$-{\frac {4\pi k}{(2i+1)b^{i+1}}}\left(ib^{i-1}H_{i}-{\frac {i+1}{b^{i+2}}}G_{i}\right)\,;$

quantité qui est la même chose que

$-{\frac {1}{b^{2i+3}}}\left(U_{i}+{\frac {4\pi (1-k)}{3}}G_{i}\right),$