Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 5.djvu/320

${\begin{aligned}a^{2}\iint E'\,\sin \theta '\ d\theta '\ d\psi '\,&=-4\pi kG_{0},\\b^{2}\iint E''\sin \theta ''d\theta ''d\psi ''&=4\pi kG_{0},\end{aligned}}$

pour les quantités totales de fluide libre dont ces couches seraient formées ; quantités qui seront nulles puisqu’on a $G_{0}=0.$

(24) Lorsqu’on voudra se servir de ces valeurs de $E'$ et $E''$ pour calculer l’action de $A$ sur un point $M$ donné de position, il faudra s’y prendre différemment, selon que ce point sera en dehors de $A$ ou qu’il sera situé dans l’espace vide que ce corps renferme. Si l’on forme la quantité

$V+U+ka^{2}\iint {\frac {1}{\rho }}\,{\frac {d\phi '}{dr'}}\sin \theta 'd\theta 'd\psi '-kb^{2}\iint {\frac {1}{\rho '}}\,{\frac {d\phi ''}{dr''}}\sin \theta ''d\theta ''d\psi '',$

que nous appellerons $F$ pour abréger, et dans laquelle on devra faire $r'=a,$ $r''=b,$ ses différences partielles par rapport aux coordonnées de $M$ exprimeront, dans les deux cas, les composantes de la force totale qui agit sur ce point, et qui provient soit de l’action de $A,$ soit des forces auxquelles se rapportent les fonctions $V$ et $U\,:$ mais, selon la position du point $M$ les différens termes de cette quantité devront se développer suivant les puissances croissantes ou décroissantes de $M$ afin de satisfaire toujours à la condition de la convergence des séries ; c’est pourquoi nous allons examiner successivement le cas où le point $M$ est en dehors de $A,$ et le cas où il est en dedans.

1.^o Si le point $M$ est en dehors de $A,$ de sorte qu’on ait $r>a,$ et à plus forte raison $r>b,$ le second et le quatrième terme de $F$ devront être développés comme dans l’équation (2) suivant les puissances décroissantes de $r\,;$ par conséquent, le coefficient de $r^{-i-1},$ dans le développement de la somme de ces deux termes, sera équivalent, d’après la seconde équation (3), à