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les termes généraux $V_{i}$ et $U_{i}$ des coefficiens de ces séries étant des fonctions de $\theta$ et $\psi ,$ de la même nature que $H_{i}$ et $G_{i}.$ À mesure que $r$ augmentera, la valeur de $U$ approchera de se réduire à son premier terme ${\frac {1}{r}}U_{0}\,:$ mais, paria nature de cette fonction, sa limite doit être la somme des quantités de fluide libre appartenant aux aimans qu’on a placés dans l’intérieur de $A,$ divisée par $r\,;$ le coefficient $U_{0}$ doit donc être égal à cette somme laquelle est toujours zéro, quels que soient le nombre et la forme de ces aimans.

Maintenant, si nous substituons ces diverses valeurs et celle de $\phi$ du numéro précédent, dans le premier membre de l’équation (2), et que nous égalions séparément à zéro la somme des termes qui sont multipliés par $r^{i},$ et celle des termes qui ont pour facteur, nous aurons, pour toutes les valeurs de l’indice $i,$ ces deux équations :

$\left.{\begin{aligned}V_{i}+{\frac {\ \ 4\pi (1-k)}{3}}H_{i}+{\frac {4\pi ik}{2i+1}}H_{i}-{\frac {4\pi (i+1)k}{(2i+1)a^{2i+1}}}G_{i}&=0,\\U_{i}+{\frac {4\pi (1-k)}{3}}G_{i}-{\frac {4\pi ikb^{2i+1}}{2i+1}}H_{i}+{\frac {4\pi (i+1)k}{(2i+1)}}G_{i}&=0\,;\end{aligned}}\right\}\quad (3)$

d’où l’on tirera les valeurs de $H_{i}$ et $G_{i}$ qu’il s’agissait de déterminer. À cause de $U_{0}=0,$ la seconde équation donnera $G_{0}=0\,;$ et pour le même indice $i=0,$ la première se réduira à

$V_{0}+{\frac {4\pi (1-k)}{3}}H_{0}=0.$

Les équations (1) feront connaîtra les épaisseurs $E'$ et $E''$ des couches de fluide fibre, dont tes actions, ajoutées l’une à l’autre, sont équivalentes à celle de $A$ sur tous les points dans la partie pleine de ce corps. Par la natutre des fonctions $H_{i}$ et $G_{i},$ on aura simplement