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que, si nous combinons fexpression de $\phi$ du numéro précédent avec ces valeurs de ${\frac {1}{\rho }}$ et ${\frac {1}{\rho '}},$ nous aurons

${\begin{aligned}\iint {\frac {1}{\rho }}\,{\frac {d\phi '}{dr'}}\ \sin \theta '\ d\theta '\ d\psi '\ =&{\frac {4\pi }{a^{2}}}\left({\frac {r}{3}}H_{1}+{\frac {2r^{2}}{5}}H_{2}+{\frac {3r^{3}}{7}}H_{3}+\ldots \right.\\&\left.\ldots +{\frac {ir^{i}}{2i+1}}H_{i}+\&c.\right)\\&-{\frac {4\pi }{a^{2}}}\left({\frac {1}{a}}G_{0}+{\frac {2r}{3a^{3}}}G_{1}+{\frac {3r^{2}}{5a^{5}}}G_{2}+\ldots \right.\\&\left.\ldots +{\frac {(i+1)r^{i}}{(2i+1)a^{2i+1}}}G_{i}+\&c.\right),\\\iint {\frac {1}{\rho '}}\,{\frac {d\phi ''}{dr''}}\sin \theta ''d\theta ''d\psi ''=&{\frac {4\pi }{r^{2}}}\left({\frac {b}{3}}H_{1}+{\frac {2b^{3}}{5r}}H_{2}+{\frac {3b^{5}}{7r^{2}}}H_{3}+\ldots \right.\\&\left.\ldots +{\frac {ib^{2i-1}}{(2i+1)r^{i-1}}}H_{i}+\&c.\right)\\&-{\frac {4\pi }{b^{2}}}\left({\frac {1}{r}}G_{0}+{\frac {2}{3r^{2}}}G_{1}+{\frac {3}{5r^{3}}}G_{2}+\ldots \right.\\&\left.\ldots +{\frac {i+1}{(2i+1)r^{i+1}}}G_{i}+\&c.\right)\,;\end{aligned}}$

en faisant, comme il a été dit, $r'=a,$ $r''=b,$ après les opérations effectuées.

Les quantités $U$ et $V$ se développent aussi suivant les puissauces croissantes ou décroissantes de $r\,:$ mais d’après la position du point $M$ dont cette variable est le rayon vecteur, il faudra, pour que ces séries soient convergentes, que $V$ soit développé suivant les puissances croissantes de $r,$ et $U$ suivant ses puissances décroissantes ; car $V$ répond à des forces qui émanent de centres dont les distances au centre de $A$ surpassent $r,$ et, au contraire, $U$ se rapporte à des forces dont les centres d’action sont à des distances de ce point moindres que $r.$ Nous aurons, par conséquent,

$V=V_{0}+rV_{1}+r^{2}V_{2}+r^{3}V_{3}+\&c.,$

$U={\frac {1}{r}}U_{0}+{\frac {1}{r^{2}}}U_{1}+{\frac {1}{r^{3}}}U_{2}+{\frac {1}{r^{4}}}U_{3}+\&c.\,;$