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où l’on devra faire $r'=a,$ $r''=b,$ après avoir effectué les différenciations. L’équation $(k)$ se changera donc en celle-ci,

$\left.{\begin{aligned}&V+U+{\frac {4\pi (1-k)}{3}}\phi \\+a^{2}k\iint {\frac {1}{\rho }}{\frac {d\phi '}{dr'}}\sin \theta '&d\theta 'd\psi '-b^{2}k\iint {\frac {1}{\rho '}}{\frac {d\phi ''}{dr''}}\sin \theta ''d\theta ''d\psi ''=0,\end{aligned}}\right\}\quad (2)$

qui devra servir à déterminer les deux séries de coefficiens contenus dans la valeur de $\phi$ du numéro précédent.

Dans cette équation le point $M,$ qui répond aux coordonnées polaires $r,\theta ,\psi ,$ appartenant à la partie pleine de $A,$ il s’ensuit qu’on a $r<a$ et $r>b\,;$ on aura donc, en séries convergentes,

${\begin{alignedat}{5}&{\frac {1}{\rho }}&&={\frac {1}{a}}&&+{\frac {r}{a^{2}}}Y'_{1}&&+{\frac {r^{2}}{a^{3}}}Y'_{2}&&+{\frac {r^{3}}{a^{4}}}Y'_{3}+\&c.,\\&{\frac {1}{\rho '}}&&={\frac {1}{r}}&&+{\frac {b}{r^{2}}}Y''_{1}&&+{\frac {b^{2}}{r^{3}}}Y''_{2}&&+{\frac {b^{3}}{r^{4}}}Y''_{3}+\&c.\,;\end{alignedat}}$

les coefficiens de la première série étant des fonctions de $\theta ,\psi ,\theta ',\psi ',$ symétriques, soit par rapport à $\theta$ et $\theta ',$ soit relativement à $\psi$ et $\psi ',$ et ceux de la seconde série se déduisant des premiers en y changeant $\theta '$ et $w'$ en $\theta ''$ et $\psi ''.$ En vertu des propriétés connues dont ces fonctions puissent, si l’on désigne par $H'_{i}$ ce que devient la fonction $H_{i}$ du numéro précédent, quand on y met $\theta '$ et $\psi '$ à la place de $\theta$ et $\psi ,$ on aura

$\iint H'_{i}Y'_{i}\sin \theta 'd\theta 'd\psi '=0,$

tant que les indices $i$ et $i'$ seront différens, et

$\iint H'_{i}Y'_{i}\sin \theta 'd\theta 'd\psi '={\frac {4\pi H_{i}}{2i+1}},$

lorsqu’ils seront égaux ; les limites des intégrales étant toujours $\theta '=0,$ $\psi '=0,$ et $\theta '=\pi ,$ $\psi '=2\pi .$ Les mêmes équations auront lieu, en substituant la fonction $G_{i}$ à $H_{i}\,;$ et elles subsisteront également en intégrant dans les mêmes limites, par rapport aux variables $\theta ''$ et $\psi ''.$ Il résulte de là