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donc

$\phi =R_{0}+R_{1}+R_{2}+\ldots +R_{i}+\&c.\,;$

le terme général $R_{i}$ étant une fonction rationnelle, entière et du degré $i,$ des trois quantités $\cos \theta ,\ \sin \theta \sin \psi ,$ et $\sin \theta \cos \psi ,$ dépendante aussi de $r,$ et qui satisfait à l’équation

${\frac {d\left(\sin \theta {\cfrac {dR_{i}}{d\theta }}\right)}{d\theta }}+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}\,{\frac {d^{2}R_{i}}{d\psi ^{2}}}+i(i+1)R_{i}=0.\quad (m)$

Après avoir substitué cette valeur de $\phi$ dans l’équation $(l),$ on obtiendra un résultat de cette forme :

$R'_{0}+R'_{1}+R'_{2}+\ldots +R'_{i}+\&c.=0\,;$

$R'_{i}$ étant la partie de son premier membre qui répond au terme quelconque $R_{i}$ de notre série. La valeur de $R'_{i},$ réduite en vertu de l’équation $(m),$ est

$R'_{i}=r{\frac {d^{2}.rR_{i}}{dr^{2}}}-i(i+1)R_{i}\,;$

c’est donc une fonction de $\theta$ et $\psi ,$ de la même espèce que $R_{i}\,;$ et, d’après la nature de ce genre de quantités, chaque terme de la série précédente devra être séparément nulle, pour que la série entière soit égale à zéro. Ainsi nous aurons généralement

$r{\frac {d^{2}.rR_{i}}{dr^{2}}}-i(i+1)R_{i}=0\,;$

équation dont l’intégrale complète est

$R_{i}=r^{i}H_{i}+{\frac {1}{r^{i+1}}}G_{i}\,;$

$H_{i}$ et $G_{i}$ étant des quantités indépendantes de $r$ et de la même nature que $R_{i},$ eu égard aux deux autres variables $\theta$ et $\psi .$

Il ne restera donc plus qu’à déterminer, dans chaque cas particulier, les expressions de ces deux quantités, en fonctions de leur indice $i.$ On y parviendra en mettant dans le