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(20) La quantité $k$ étant donc supposée constante, l’équation que nous venons de trouver, se réduira à

${\frac {d\alpha }{dx}}+{\frac {d\beta }{dy}}+{\frac {d\gamma }{dz}}=0.$                                 $(f)$

De plus, par des différenciations relatives à $x,y,z,$ on déduit des équations (c) celles-ci

${\frac {d\alpha }{dy}}={\frac {d\beta }{dx}},\quad {\frac {d\alpha }{dz}}={\frac {d\gamma }{dx}},\quad {\frac {d\beta }{dz}}={\frac {d\gamma }{dy}}\,;$

ce qui nous montre que $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ seront les trois différences partielles d’une même fonction de $x,y,z\,;$ de sorte qu’en appelant $\phi$ cette fonction inconnue, on aura

$\alpha ={\frac {d\phi }{dx}},\quad \beta ={\frac {d\phi }{dy}},\quad \gamma ={\frac {d\phi }{dz}}\,;$                      $(g)$

et l’équation (e) deviendra

${\frac {d^{2}\phi }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\phi }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\phi }{dz^{2}}}=0.$                      $(h)$

Ces dernières formules établiraient des rapports singuliers entre la distribution des deux fluides magnétiques dans un corps aimanté par influence, et le mouvement des fluides incompressibles mais nous ne nous arrêterons point à développer cette analogie qui ne serait d’aucune utilité pour la solution du problème dont nous nous occupons, et qui pourrait induire en erreur sur la nature du magnétisme.

Les trois équations $(c)$ de l’équilibre magnétique se réduiront à cette seule équation :

$V+Q+{\frac {4\pi (1-k)}{3}}\phi =0,$                      $(i)$

dont elles seront les différences partielles relatives à $x,y,z\,:$ la constante arbitraire que cette équation devrait renfermer, sera comprise dans la valeur de l’inconnue $\phi .$

La quantité $P,$ contenue dans la valeur,de $Q,$ s’évanouira en-vertu de l’équation $(f),$ et cette valeur deviendra