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(19) Ce sont ces valeurs qu’il faudra substituer dans les équations (15) de l’équilibre magnétique ; ce qui les changera en celles-ci :

$\left.{\begin{alignedat}{4}&{\frac {dV}{dx}}&&+{\frac {dQ}{dx}}&&+{\frac {4\pi \alpha (1-k)}{3}}&&=0,\\&{\frac {dV}{dy}}&&+{\frac {dQ}{dy}}&&+{\frac {4\pi \beta (1-k)}{3}}&&=0,\\&{\frac {dV}{dz}}&&+{\frac {dQ}{dz}}&&+{\frac {4\pi \gamma (1-k)}{3}}&&=0.\end{alignedat}}\right\}\quad$(c)

On sait que, par la nature de la fonction $V$ ona

${\frac {d^{2}V}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}V}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}V}{dz^{2}}}=0.$                                            (d)

On a aussi identiquement

${\frac {d^{2}{\cfrac {1}{\rho }}}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}{\cfrac {1}{\rho }}}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}{\cfrac {1}{\rho }}}{dz^{2}}}=0\,;$

et si l’on fait subir à cette quantité nulle, des intégrations relatives aux variables $x',y',z',$ qui sont contenues dans $\rho ,$ les intégrales seront encore égales à zéro, pourvu qu’entre leurs limites les variables $x',y',z',$ ne passent pas par les valeurs particulières $x'=x,$ $y'=y,$ $z'=z\,:$ car j’ai déjà eu l’occasion de faire remarquer^[1] que ces intégrales ne sont pas nulles, lorsque la quantité devient infiniment petite entre les limites dans lesquelles on a intégré. Observons d’ailleurs que, les limites des deux intégrales que renferme le second membre de l’équation (b), étant indépendantes de la position du point $M,$ si on les différencie par rapport aux coordonnées $x,y,z,$ on pourra faire passer les signes de différenciations sous les signes $\int \,;$ on aura donc

1. Bulletin de la Société philomathique, décembre 1813.