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les quantités $\left[{\frac {\gamma 'k'}{\rho }}\right]$ et $\left({\frac {\gamma 'k'}{\rho }}\right)$ se rapportant, la première au point supérieur, et la seconde au point inférieur. Si donc on conçoit un cylindre vertical tangent à la surface de $A$ qui la divise en deux parties, il faudra étendre la première des deux intégrales doubles à la partie supérieure, et la seconde à la partie inférieure. Or, en appelant $n'$ l’angle compris entre la verticale tirée de bas en haut, par le point de la surface de $A,$ dont les coordonnées sont $x',y',z',$ et la partie extérieure delà normale à cette surface au même point, cet angle sera aigu dans toute la première partie delà surface, et obtus dans toute la seconde partie ; désignant de plus par $d\omega '$ l’élément différentiel de la surface à ce même point, sa projection sur le plan des $x',y',$ sera $dx'dy',$ et l’on aura

$dx'dy'=\pm \cos n'd\omega ',$

en prenant le signe $+$ quand $n'$ sera aigu et le signe $-$ quand cet angle sera obtus. D’après cela, nous pourrons réduire la différence de nos deux intégrales doubles à une seule intégrale étendue à la surface entière de $A$ savoir :

$\iint \left[{\frac {\gamma 'k'}{\rho }}\right]dx'dy'-\iint \left({\frac {\gamma 'k'}{\rho }}\right)dx'dy'=\iint {\frac {\gamma 'k'\cos n'}{\rho }}d\omega '.$

Nous aurons donc

$\iiint {\frac {d.{\cfrac {\gamma 'k'}{\rho }}}{dz'}}dx'dy'dz'=\int {\frac {\gamma 'k'\cos n'}{\rho }}d\omega '\,;$

et, par des raisonnemens semblables on trouvera

$\iiint {\frac {d.{\cfrac {\beta 'k'}{\rho }}}{dy'}}dx'dy'dz'=\int {\frac {\beta 'k'\cos m'}{\rho }}d\omega ',$