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signes de différenciations relatives à ces variables ; ce qui changera les équations (5) en celles-ci :s

$X={\frac {dQ}{dx}},\quad Y={\frac {dQ}{dy}},\quad Z={\frac {dQ}{dz}},$

en faisant, pour abréger,

$Q=\iiint \left({\frac {d{\cfrac {1}{\rho }}}{dx'}}\alpha '+{\frac {d{\cfrac {1}{\rho }}}{dy'}}\beta '+{\frac {d{\cfrac {1}{\rho }}}{dz'}}\gamma '\right)k'dx'dy'dz'.$

Soit aussi

${\frac {d.\alpha 'k'}{dx'}}+{\frac {d.\beta 'k'}{dy'}}+{\frac {d.\gamma 'k'}{dz'}}=p',$

$\iiint {\frac {1}{\rho }}p'dx'dy'dz'=P\,;$

la valeur de $Q$ deviendra

$Q=\iiint \left({\frac {d.{\cfrac {\alpha 'k'}{\rho }}}{dx'}}+{\frac {d.{\cfrac {\beta 'k'}{\rho }}}{dy'}}+{\frac {d.{\cfrac {\gamma 'k'}{\rho }}}{dz'}}\right)dx'dy'dz'-P.$

Pour fixer les idées, supposons que l’axe des $z'$ soit vertical et dirigé de bas en haut, que le corps $A$ soit tout entier au-dessus du plan des $x',y',$ et qu’il y ait seulement deux points de la surface de ce corps qui répondent à chaque couple de valeurs de $x',y'\,;$ ces points pourraient être au nombre de quatre, six, &c., selon la forme du corps mais on ramènera toujours ces autres cas à celui que nous supposons, en considérant ces points deux à deux consécutivement. Ce sera entre les ordonnées verticales des deux points de la surface qui répondent aux mêmes valeurs de $x',y',$ que l’on devra prendre les intégrales relatives à $z'\,:$ ainsi l’on aura

$\iiint {\frac {d.{\cfrac {\gamma 'k'}{\rho }}}{dz'}}dx'dy'dz'=\iint \left[{\frac {\gamma 'k'}{\rho }}\right]dx'dy'-\iint \left({\frac {\gamma 'k'}{\rho }}\right)dx'dy'\,;$