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que son centre soit l’origine des angles $u'$ et $v',$ on aura $\cos u=\cos u',$ $\cos u'=\sin u'\sin v',$ $\cos u''=\sin u'\cos v'\,;$ mettant de plus à la place de $\alpha _{_{\scriptscriptstyle {I}}},\beta _{_{\scriptscriptstyle {I}}},\gamma _{_{\scriptscriptstyle {I}}},$ leurs valeurs données par les équations (13), on aura

$\mu e=\alpha \cos n+\beta \cos n'+\gamma \cos n'',$

et par conséquent,

$N=-{\frac {4\pi }{3}}\mu e\,;$

où l’on voit que les quantités $N$ et $\mu e$ seront de signes contraires, ce qui équivaut à la proposition qu’il fallait vérifier.

Toute la théorie du magnétisme, relativement aux corps aimantés par influence, dépend maintenant de la résolution des trois équations (15). Dans chaque cas particulier, le problème consistera à en déduire les valeurs des trois quantités $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ en fonctions des coordonnées du point auquel elles se rapportent ; mais, avant de chercher à les résoudre, il est nécessaire de les ramener à des formes plus simples en réduisant, s’il est possible à des intégrales doubles les intégrales triples que $X,Y,Z,$ représentent, et qui sont contenues dans ces équations. C’est ce qui va nous occuper dans le paragraphe suivant.

§. II.

Simplification des Formules précédentes.

(17) Nous considérerons d’abord les seconds membres des équations (5) (n.° 6), dans le cas où les coordonnées $x,y,z,$ appartiennent à un point $M$ situé en dehors de A. Les limites de ces intégrales triples seront alors indépendantes de $x,y,z,$ en sorte qu’on pourra transporter en avant des signes $\int$ les