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Pour former de la manière la plus simple la valeur de la première intégrale double, contenue dans l’équation (14), supposons que le point $C,$ origine des coordonnées polaires, soit le centre de gravité de l’élément magnétique ; faisons d’abord coïncider les axes auxquels ces coordonnées se rapportent, avec les trois axes principaux de rotation menés par ce centre et désignons dans ce cas par $u_{_{\scriptscriptstyle {I}}}$ et $v_{_{\scriptscriptstyle {I}}}$ ce que deviennent les angles $u'$ et $v'\,;$ observons de plus que $a$ est le rayon de la sphère équivalente au volume de cet élément : il en résultera que si l’on développe $t$ en série de la même nature que la série (12), les deux premiers termes manqueront dans ce développement, et le troisième terme sera de la forme^[1] :

$g\left({\frac {1}{3}}-\cos ^{2}u_{_{\scriptscriptstyle {I}}}\right)+g'\left(\sin ^{2}u_{_{\scriptscriptstyle {I}}}\cos ^{2}v_{_{\scriptscriptstyle {I}}}-\sin ^{2}u_{_{\scriptscriptstyle {I}}}\sin ^{2}v_{_{\scriptscriptstyle {I}}}\right)\,;$

$g$ et $g'$ étant des coefficiens constans qui dépendront uniquement de la forme de l’élément magnétique. Si l’on veut ensuite transformer les angles $u_{_{\scriptscriptstyle {I}}}$ et $v_{_{\scriptscriptstyle {I}}},$ relatifs à ces axes principaux, dans les angles $u'$ et $v'$ qui se rapportent à des axes quelconques, on observera que $\cos u_{_{\scriptscriptstyle {I}}},\,\sin u_{_{\scriptscriptstyle {I}}}\sin v_{_{\scriptscriptstyle {I}}},\,\sin u_{_{\scriptscriptstyle {I}}}\cos v_{_{\scriptscriptstyle {I}}},$ sont les cosinus des angles que fait le rayon vecteur $a(1+t)$ avec les premiers axes, et que leurs valeurs, en fonctions de $u'$ et $v'$ sont

$\cos u_{_{\scriptscriptstyle {I}}}=\cos u'\cos l+\sin u'\sin v'\cos m+\sin u'\cos v'\cos n$

$\sin u_{_{\scriptscriptstyle {I}}}\sin v_{_{\scriptscriptstyle {I}}}=\cos u'\cos l'+\sin u'\sin v'\cos m'+\sin u'\cos v'\cos n',$

$\sin u_{_{\scriptscriptstyle {I}}}\cos v_{_{\scriptscriptstyle {I}}}=\cos u'\cos l''+\sin u'\sin v'\cos m''+\sin u'\cos v'\cos n''\,;$

$l,m,$ &c. étant comme dans le n.° 12 les neuf angles que font les axes principaux avec les autres axes. Substituant donc ces valeurs dans la formule précédente elle se trouvera exprimée en fonction de $u'$ et $v',$ ou rapportée à des axes fixes quelconques. Ce second terme du développement de $t$ sera le

1. Mécanique céleste, tome II, pages 33 et 93.