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et pour que le premier lui soit identique, il faudra qu’on ait

$s=-Z'_{0}+Z'_{2}+2Z'_{3}+\ldots +(i-1)Z'_{i}+\&c.$

C’est à cette seconde approximation que nous nous arrêterons. Si l’élément magnétique que nous considérons, était un ellipsoïde, et que l’on plaçât l’origine des coordonnées polaires à son centre, $t$ serait une fonction de $u'$ et $v',$ de la même nature que $a'_{2}Z\;$ le développement de $\mu et$ ne contiendrait que les trois termes $Z'_{0},\,Z'_{1},\,Z'_{3}\,;$ tous les autres seraient nuls, et même $Z'_{0}$ serait aussi nul .d’après la condition que la totalité du fluide libre à la surface de l’élément fût égale à zéro. Ainsi, dans ce cas particulier, la valeur précédente de $s$ se réduira au seul terme $2Z'_{3}.$ Dans tous les cas, on pourra ramener cette série à la forme finie, au moyen d’une intégrale définie ; mais cette transformation ne serait point utile à l’objet que nous avons en vue.

(15) Maintenant, la distribution du fluide libre à la surface de l’élément magnétique étant déterminée, il sera facile d’en conclure les valeurs correspondantes des intégrales $\alpha ',\beta ',\gamma ',$ du n.° 3 ; ce qui fera connaître les relations existantes pour un même élément, entre ces intégrales et les quantités $\alpha _{_{\scriptscriptstyle {I}}},\beta _{_{\scriptscriptstyle {I}}},\gamma _{_{\scriptscriptstyle {I}}}.$ Nous continuerons de désigner par $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ ce que deviennent $\alpha ',\beta ',\gamma ',$ quand les coordonnées d’un point $C,$ pris dans l’intérieur de l’élément auquel elles répondent, sont $x,y,z.$ D’après les notations précédentes et celles du numéro cité, nous aurons

${\begin{aligned}h\chi &=a(1+t)\cos u',\\h\xi &=a(1+t)\sin u'\sin v',\\h\zeta &=a(1+t)\sin u'\cos v'.\end{aligned}}$

L’élément de volume de la couche de fluide libre pourra s’exprimer au moyen de l’épaisseur $\varepsilon$ normale à sa surface, ou