tement pour la première valeur approchée de
qui satisfait à l’équation (11),
![{\displaystyle e=\mu {\frac {C}{4\pi a}}+{\frac {3}{4\pi }}(\alpha _{_{\scriptscriptstyle {I}}}\cos u'+\beta _{_{\scriptscriptstyle {I}}}\sin u'\sin v'+\gamma _{_{\scriptscriptstyle {I}}}\sin u'\cos v').}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14afaab577b1959117fd2c0183620243d91fcb15)
Pour en obtenir une seconde, nous ajouterons un terme
à cette première valeur ; en retenant ensuite dans l’équation (11) les termes de première dimension par rapport à
et à
et réduisant, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\iint &\left(Y_{0}+{\frac {r}{a}}Y_{1}+{\frac {r^{2}}{a^{2}}}Y_{2}+{\frac {r^{3}}{a^{3}}}Y_{3}+\&c.\right)s\sin u'du'dv'\\=&\iint \left(-Y_{0}+{\frac {r^{2}}{a^{2}}}Y_{2}+{\frac {2r^{3}}{a^{3}}}Y_{3}+{\frac {3r^{4}}{a^{4}}}Y_{4}+\&c.\right)\mu et\sin u'du'dv',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc37493e76a8c9321c8f904556cc199dfcb3715f)
où l’on a conservé, pour abréger,
à la place de sa valeur précédente. Quelle que soit la valeur de
en fonction de
et
on peut t’exprimer par une série de cette forme[1] :
![{\displaystyle \mu et=Z'_{0}+Z'_{1}+Z'_{2}+Z'_{3}+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c247847b54fd6d877f7f984fffb551b525944f2)
&c.,
(12)
dont les termes sont de certaines fonctions des sinus et cosinus de ces deux angles, qui sont telles, que l’on a
![{\displaystyle \iint Z'_{i}Y_{i'}\sin u'du'dv'=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22406e5f8a0cf5bb602732cccdcc69b971e2e220)
quand les indices
et
sont différens ; et
![{\displaystyle \iint Z'_{i}Y_{i}\sin u'du'dv'={\frac {4\pi Z_{i}}{2i+1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4b78c1a1df050c64a935cd557c17dd49edc26df)
quand ils sont égaux :
représentant ce que devient
lorsqu’on y remplace
et
par
et
et les intégrales étant prises depuis
et
jusqu’à
et
De cette manière, le second membre de l’équation précédente deviendra
![{\displaystyle 4\pi \left(-Z_{0}+{\frac {r^{2}}{5a^{2}}}Z_{2}+{\frac {r^{3}}{7a^{3}}}Z_{3}+\ldots {\frac {(i-1)r^{i}}{(2i+1)a^{i}}}Z_{i}+\&c.\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59d07be74c0fc7964f1b8db5fdc8547249024822)
- ↑ Journal de l’École polytechnique, 19.e cahier, page 145.