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en fonctions de $u'$ et $v',$ sera celle-ci :

$\left.{\begin{aligned}\iint &{\frac {\mu ea^{2}(1+t)^{2}\sin u'du'dv'}{\left[a^{2}(1+t)^{2}-2ra(1+t)\left(\cos u\cos u'+\sin u\sin u'\cos(v-v')\right)+r^{2}\right]^{\frac {1}{2}}}}\\&=c+\alpha _{_{\scriptscriptstyle {I}}}r\cos u+\beta _{_{\scriptscriptstyle {I}}}r\sin u\sin v+\gamma _{_{\scriptscriptstyle {I}}}r\sin u\cos v,\end{aligned}}\right\}$(11)

qui devra subsister pour toutes les valeurs des trois variables $r,u$ et $v\,:$ la double intégrale est prise depuis $u'=0$ et $v'=0,$ jusqu’à $u'=\pi$ et $v'=2\pi \,;$ et la quantité $c$ est une constante qu’on déterminera d’après la condition que la totalité du fluide libre soit nulle, ou qu’on ait

$\iint \mu e(1+t)^{2}\sin u'du'dv'=0.$

En général, cette équation se résoudra par la méthode des séries. La valeur de $\mu e$ s’exprimera par une série d’autant plus convergente que la quantité $t$ sera plus petite afin de ne pas nous jeter dans des calculs trop compliqués nous supposerons que cette variable soit constamment assez petite pour qu’on en puisse négliger les puissances supérieures à la première ce qui comprendra toutes les formes d’élémens qui ne différeront pas beaucoup de la sphère et suffira à la vérification des équations (10) que nous nous sommes proposée.

(14) Faisons d’abord tout-à-fait abstraction de $t,$ et développons, suivant les puissances de $r,$ la quantité irrationnelle comprise sous le double signe d’intégration ; nous aurons, en série convergente,

$\left[a^{2}-2ar\left(\cos u\cos u'+\sin u\sin u'\cos(v-v')\right)+r^{2}\right]^{\frac {1}{2}}={\frac {1}{a}}Y_{0}$

$+{\frac {r}{a^{2}}}Y_{1}+{\frac {r^{2}}{a^{3}}}Y_{2}+{\frac {r^{3}}{a^{4}}}Y_{4}+$&c. ;

les coefficiens $Y_{0},Y_{1},Y_{2},$ &c. étant des fonctions de sinus et de cosinus des angles $u,v,u',v',$ qui jouissent de propriétés connues. En vertu de ces propriétés, on conclura immédia-