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les neuf coefficiens $p,q$ &c. étant encore des quantités indépendantes des angles $l,m,$ &c. En vertu des six équations (9), qui existent entre leurs cosinus, on tirera immédiatement de ces trois dernières équations les valeurs de $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ et les comparant aux seconds membres des équations (8), on en conclura celles des coefficiens $P,Q,$ &c., dont il nous suffira d’écrire les deux premières, savoir :

${\begin{aligned}P&=p\cos ^{2}l+q'\cos ^{2}l'+r''\cos ^{2}l''\\&+(p'+q)\cos l\cos l'+(p''+r)\cos l\cos l''+(q''+r')\cos l'\cos l'',\\\end{aligned}}$

${\begin{alignedat}{8}&Q&&=p&&\cos l&&\cos m&&+q'&&\cos l'&&\cos m'&&+r''\cos l''\cos m''\\&&&+p'&&\cos l&&\cos m'&&+q&&\cos l'&&\cos m\\&&&+p''&&\cos l&&\cos m''&&+r&&\cos l''&&\cos m\\&&&+q''&&\cos l'&&\cos m''&&+r'&&\cos l''&&\cos m'.\end{alignedat}}$

Lorsque la sphère $A$ tournera sur elle-même, les angles $l,m,$ &c., varieront, et l’on pourra leur attribuer toutes les valeurs possibles qui satisferont aux équations (9). Or, d’après le numéro précédent, les coefficiens $P,Q,$ &c., devront tous rester les mêmes pendant la rotation de $A\,;$ il faudra donc que les angles $l,m,$ &c., disparaissent de leurs valeurs, en ayant toutefois égard aux équations (9) qui les lient entre eux. Cette condition sera remplie, si l’on a $p=q'=r'',$ et si les six autres quantités $p',p'',q,$ &c., sont nulles : on aura alors $P=Q'=R''=p,$ les six autres coefficiens $P',P'',Q,$ &c., seront égaux à zéro, et les valeurs de $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ se réduiront à

$\alpha =p\alpha _{_{\scriptscriptstyle {I}}},\quad \beta =p\beta _{_{\scriptscriptstyle {I}}},\quad \gamma =p\gamma _{_{\scriptscriptstyle {I}}}.$           (10)

Je dis de plus que la condition donnée ne peut être remplie que de cette seule manière.

En effet, deux des trois angles $l,l',l'',$ sont arbitraires ; et pour qu’ils disparaissent de la valeur de $P,$ il est nécessaire, et il suffit, d’après la première équation (9), qu’on ait