En désignant par
la fonction de
qui équivaut à l’intégrale définie
on aura
et substituant, on a
équation différentielle du second ordre à laquelle la valeur de
satisfait. Pour s’en assurer, on donnera à l’intégrale définie
la forme exprimée par l’équation suivante,
![{\displaystyle \int e^{y\cos r}dr=\pi \left(1+{\frac {y^{2}}{2^{2}}}+{\frac {y^{4}}{2^{2}.4^{2}}}+{\frac {y^{6}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}+{\frac {y^{8}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}.8^{2}}}+\ldots \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3e711ea246587d222d98649c437e4e201442295)
qu’il est facile de vérifier. Cette expression de la somme de la série
![{\displaystyle 1+{\frac {y^{2}}{2^{2}}}+{\frac {y^{4}}{2^{2}.4^{2}}}+{\frac {y^{6}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/929da686d68feb888df21c1f8fccb9df05b54f50)
est une conséquence évidente de la proposition générale énoncée dans l’article 53 et qui donne le développement de l’intégrale
étant une fonction quelconque. Or l’équation
![{\displaystyle u=\pi \left(1+{\frac {y^{2}}{2^{2}}}+{\frac {y^{4}}{2^{2}.4^{2}}}+{\frac {y^{6}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}+\ldots \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52b1ee123bb60f6d4e0dc5d38408b77b582d3114)
satisfait évidemment à l’équation différentielle
![{\displaystyle u={\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}+{\frac {1}{y}}\cdot {\frac {du}{dy}}\,:}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a851d1039ce5b63677b15b25dec5a3046d8d3d03)
donc la valeur particulière donnée par l’équation
satisfait à l’équation aux différences partielles
![{\displaystyle {\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}+{\frac {1}{y}}\cdot {\frac {dv}{dy}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f42e0b399a4eb23ee7549585008f32a28f90b60)
Cette dernière équation exprime la condition nécessaire pour que chaque point du solide conserve sa température. En effet, imaginons que, l’axe étant divisé en une infinité de parties égales
on élève dans le plan d’un méridien toutes