En désignant par la fonction de qui équivaut à l’intégrale définie on aura et substituant, on a équation différentielle du second ordre à laquelle la valeur de satisfait. Pour s’en assurer, on donnera à l’intégrale définie la forme exprimée par l’équation suivante,
qu’il est facile de vérifier. Cette expression de la somme de la série
est une conséquence évidente de la proposition générale énoncée dans l’article 53 et qui donne le développement de l’intégrale étant une fonction quelconque. Or l’équation
satisfait évidemment à l’équation différentielle
donc la valeur particulière donnée par l’équation satisfait à l’équation aux différences partielles
Cette dernière équation exprime la condition nécessaire pour que chaque point du solide conserve sa température. En effet, imaginons que, l’axe étant divisé en une infinité de parties égales on élève dans le plan d’un méridien toutes