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sur la surface parallèlement au premier, ont aussi une température permanente et commune, différente de celle des points de l’équateur, et que la température fixe décroît ainsi depuis l’équateur jusqu’au pôle suivant une loi déterminée. La surface étant maintenue, durant un temps infini et par des causes extérieures quelconques dans l’état que nous venons de décrire, il est nécessaire que le solide parvienne aussi à un dernier état, et. alors la température d’un point intérieur quelconque n’éprouvera aucun changement. Il est manifeste que si par le centre d’un parallèle on décrit une circonférence d’un rayon quelconque, tous les points de cette circonférence auront la même température.

Cela posé, l’on va démontrer que l’équation suivante

$v=\cos x\int e^{y\cos r}dr,$

représente un état particulier du solide qui subsisterait de lui-même s’il était formé, $x$ désigne la distance d’un point du solide au plan de l’équateur, et $y$ sa distance à l’axe perpendiculaire à l’équateur ; $v$ est la température permanente du même point ; l’indéterminée $r$ disparaît après l’intégration qui doit être prise depuis $r=0$ jusqu’à $r=\pi .$ L’équation $v=\cos x\int e^{y\cos r}dr$ satisfait à la question, en ce que, si chaque point du solide recevait la température indiquée par cette équation et que tous les points de la surface fussent entretenus par un foyer extérieur à cette température initiale, il n’y aurait dans l’intérieur de la sphère aucun changement de température. Pour vérifier cette solution, on établira, 1.^o que l’équation $v=\cos x\int e^{y\cos r}dr$ satisfait à l’équation aux différences partielles

${\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}+{\frac {1}{y}}\cdot {\frac {dv}{dy}}=0\,;$

2.^o que l’état du solide est permanent lorsque cette dernière équation est satisfaite, et lorsque les points de la surface sont entretenus à leur température initiale.