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$=e^{-gu}\left[a\cos \left(2g^{2}kt-gu\right)+b\sin \left(2g^{2}kt-gu\right)\right]\,;$

$a,b$ et $g$ ayant les valeurs désignées précédemment par $a_{1},b_{1}$ et $g_{1}.$ Cette dernière équation peut être transformée en celle-ci :

$w=v-{\frac {1}{\theta }}\int \phi t.dt$

$=e^{-gu}\left(a^{2}+b^{2}\right)^{\frac {1}{2}}\sin \left(2g^{2}kt-gu+\operatorname {arc\,tang} {\frac {a}{b}}\right).$

Si maintenant on regarde $u$ comme constante, et que l’on fasse varier $t,$ la quantité $w$ aura pour plus grande valeur $e^{-gu}\left(a^{2}+b^{2}\right)^{\frac {1}{2}}.$ Donc la température d’un point placé à une profondeur assez considérable est alternativement plus grande ou moindre que la température moyenne ; la différence, qui est très -petite, varie comme le sinus du temps écoulé depuis l’instant où elle était nulle. Le maximum de la différence décroît en progression géométrique lorsque la profondeur augmente en progression arithmétique.

Les différens points d’une même ligne verticale ne parviennent point tous en même temps à la température moyenne, en sorte que, si l’on observait dans le même instant les températures des points d’une verticale, on trouverait alternativement des points plus chauds et des points plus froids. Si l’on veut connaître à quelle distance sont deux points qui parviennent en même temps à la température moyenne, il faut écrire l’équation

$\sin \left(2g^{2}kt-gu+\operatorname {arc\,tang} {\frac {a}{b}}\right)=0,$ d’où l’on conclut, que la différence $u'-u$ entre les profondeurs doit être telle, que l’on ait $g(u'-u)=i\pi \,;$ $i$ étant un nombre entier quelconque. Ainsi deux points dont la distance verticale est ${\frac {\pi }{g}}$ ont dans le même instant la température moyenne ; mais pour l’un cette température est croissante, et pour l’autre elle diminue lorsque le temps augmente.