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Les intégrales doivent être prises depuis ${\frac {2\pi }{\theta }}=0$ jusqu’à ${\frac {2\pi }{\theta }}=2\pi ,$ ou depuis $t=0$ jusqu’à $t=\theta .$ Les coefficiens étant ainsi déterminés, et les exposans $g,g_{1},g_{2},g_{3},\ldots g_{i}\ldots$ étant $0,\,{\sqrt {\frac {\pi }{k\theta }}},\,{\sqrt {\frac {2\pi }{k\theta }}},\,{\sqrt {\frac {3\pi }{k\theta }}},\,\ldots {\sqrt {i{\frac {\pi }{k\theta }}}},\,\ldots$ il ne reste rien d’inconnu dans la valeur de $v.$ L’équation suivante fournit donc la solution complète de la question :

${\begin{aligned}v={\frac {1}{\theta }}\int \phi tdt+{\frac {2}{\theta }}e^{-u{\sqrt {\frac {\pi }{k\theta }}}}\left\{{\begin{aligned}\cos \left(\ \ {\frac {2\pi }{\theta }}t-u{\sqrt {\frac {\pi }{k\theta }}}\ \ \right)&\int \phi t\cos \left(\ \ {\frac {2\pi }{\theta }}t\right)dt\\\sin \left(\ \ {\frac {2\pi }{\theta }}t-u{\sqrt {\frac {\pi }{k\theta }}}\ \ \right)&\int \phi t\sin \left(\ \ {\frac {2\pi }{\theta }}t\right)dt\end{aligned}}\right\}\end{aligned}}$

$(E)\qquad \qquad {\begin{aligned}+{\frac {2}{\theta }}e^{-u{\sqrt {\frac {2\pi }{k\theta }}}}\left\{{\begin{aligned}\cos \left(2{\frac {2\pi }{\theta }}t-u{\sqrt {2{\frac {\pi }{k\theta }}}}\right)&\int \phi t\cos \left(2{\frac {2\pi }{\theta }}t\right)dt\\\sin \left(2{\frac {2\pi }{\theta }}t-u{\sqrt {2{\frac {\pi }{k\theta }}}}\right)&\int \phi t\sin \left(2{\frac {2\pi }{\theta }}t\right)dt\end{aligned}}\right\}\end{aligned}}$

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${\begin{aligned}+{\frac {2}{\theta }}e^{-u{\sqrt {\frac {i\pi }{k\theta }}}}\left\{{\begin{aligned}\cos \left(\,i{\frac {2\pi }{\theta }}t-u{\sqrt {i{\frac {\pi }{k\theta }}}}\ \right)&\int \phi t\cos \left(i{\frac {2\pi }{\theta }}t\right)dt\\\sin \left(\,i{\frac {2\pi }{\theta }}t-u{\sqrt {i{\frac {\pi }{k\theta }}}}\ \right)&\int \phi t\sin \left(i{\frac {2\pi }{\theta }}t\right)dt\end{aligned}}\right\}\end{aligned}}$

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82. Cette solution fournit diverses conséquences remarquables. Les quantités exponentielles $e^{-u{\sqrt {\frac {\pi }{k\theta }}}},\,e^{-u{\sqrt {\frac {2\pi }{k\theta }}}},\,e^{-u{\sqrt {\frac {3\pi }{k\theta }}}},$ &c., forment une suite décroissante et la diminution est d’autant plus rapide que la quantité $u$ est plus grande. Il en résulte que la température des points du solide placés à une profondeur un peu considérable est représentée sensiblement par les deux premiers termes de la valeur de $v.$ En effet, il faut remarquer