En supposant
on aura l’équation de condition
![{\displaystyle {\begin{aligned}\phi t&=a\ \cos 2g^{2}kt+b\ \sin 2g^{2}kt\\&+a_{1}\cos 2g_{1}^{2}kt+b_{1}\sin 2g_{1}^{2}kt\\&+a_{2}\cos 2g_{2}^{2}kt+b_{2}\sin 2g_{2}^{2}kt\\&+\&c.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64bcb376bfac503985137cb224afb0a23e3786fc)
Pour que cette fonction soit périodique, et qu’elle reprenne sa valeur lorsqu’on augmente
de l’intervalle
il suffit que
étant un nombre entier quelconque. Si on prend pour
&c. des nombres qui satisfassent à cette condition, la valeur générale de donnée par l’équation (e) sera périodique aussi, et ne changera point lorsqu’on écrira
au lieu de
car cette substitution ne fera qu’augmenter d’un multiple de la circonférence entière toutes les quantités qui sont sous les signes sinus ou cosinus.
On a donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}\phi i=a&+a_{1}\cos \left(1{\frac {2\pi }{\theta }}t\right)+b_{1}\sin \left(1{\frac {2\pi }{\theta }}t\right)\\&+a_{2}\cos \left(2{\frac {2\pi }{\theta }}t\right)+b_{2}\sin \left(2{\frac {2\pi }{\theta }}t\right)\\&+a_{3}\cos \left(3{\frac {2\pi }{\theta }}t\right)+b_{3}\sin \left(3{\frac {2\pi }{\theta }}t\right)\\&+\&c.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31c08245448dc9bde615454fb57b84e5df9364be)
La fonction
étant supposée connue, il sera facile d’en déduire les valeurs des coefficiens
&c.
&c. On trouvera (voyez article 31)
![{\displaystyle \pi a={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {2\pi }{\theta }}\int \phi t.dt,\qquad \pi a_{1}={\frac {2\pi }{\theta }}\int \phi t.dt\cos \left({\frac {2\pi }{\theta }}t\right)dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eeb75198bde9ff1207aeb9239a395ec2a1deb3d9)
![{\displaystyle \pi b_{1}={\frac {2\pi }{\theta }}\int \phi t.\sin \left({\frac {2\pi }{\theta }}t\right)dt\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/833e02eac70c2cbf1a425391fcb96bca7993640b)
et en général
![{\displaystyle \pi a_{i}={\frac {2\pi }{\theta }}\int \phi t.\cos \left(i{\frac {2\pi }{\theta }}t\right)dt,\qquad \pi b_{i}={\frac {2\pi }{\theta }}\int \phi t.\sin \left(i{\frac {2\pi }{\theta }}t\right)dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8ecc0b9f99f1d710b600abfb87435b74da11fe6)