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infini. Au reste, ce même résultat, qu’il est facile d’apercevoir à priori, se déduit aussi du calcul. Il est exprimé par les formules générales que l’on obtient en ayant égard à l’état initial ; et l’on reconnaît facilement que les températures finales du solide sont périodiques, et redeviennent les mêmes après un intervalle de temps égal à celui qui détermine le retour des températures de la surface. Il a paru superflu d’entrer ici dans ce développement.

On voit maintenant que la fonction cherchée $y$ de $x$ et est périodique par rapport au temps $t,$ et qu’elle satisfait à l’équation générale

(e)

${\frac {dv}{dt}}={\frac {K}{CD}}\,{\frac {d^{2}v}{du^{2}}}=k{\frac {d^{2}v}{du^{2}}}.$

Elle satisfait aussi, lorsqu’on fait $u=0,$ à l’équation déterminée $v=\phi (t),$ $\phi$ étant une fonction périodique que l’on suppose connue. C’est au moyen de ces conditions qu’il faut déterminer la fonction $v.$

La nature de la fonction $\phi$ est telle, par hypothèse, quelle ne change point de valeur si l’on écrit $t+\theta$ au lieu de $t,$ $\theta$ étant la durée de la période ; il doit en être de même de la tonction $v.$

On satisfaite l’équation (e) en supposant

$v=ae^{-gu}\cos(2g^{2}kt-gu),\quad {\text{ou}}\quad v=ae^{-gu}\sin(2g^{2}kt-gu).$

Ces valeurs particulières se déduisent de celles que nous avons employées jusqu’ici il suffit de rendre les exposans imaginaires. Les quantités $g$ et $a$ sont arbitraires. On peut donc exprimer la valeur générale de $v$ par l’équation suivante :

$(e)\qquad {\begin{aligned}v&=e^{-gu}\ \left[a\;\cos(2g^{2}\,kt-g\ \ u)+b\;\sin(2g^{2}\,kt-g\;u)\right]\\&+e^{-g_{1}u}\left[a_{1}\cos(2g_{1}^{2}kt-g_{2}u)+b_{1}\sin(2g_{1}^{2}kt-g_{1}u)\right]\\&+e^{-g_{2}u}\left[a_{2}\cos(2g_{2}^{2}kt-g_{2}u)+b_{2}\sin(2g_{2}^{2}kt-g_{2}u)\right]\\&+\&\mathrm {c} .\end{aligned}}$