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alors l’équation générale de la surface conique prend cette forme très-simple,

$DXy'z'+D'Yx'z'+D''Zx'y'=0,$

et les trois équations du troisième degré sont

${\begin{aligned}(Yx'-Xy')\left(x^{'2}+y^{'2}+z^{'2}+Xx'+Yy'+Zz'\right)-{\frac {D''}{M}}x'y'&=0,\\(Xz'-Zx')\left(x^{'2}+y^{'2}+z^{'2}+Xx'+Yy'+Zz'\right)-{\frac {D'}{M}}\ x'z'&=0,\\(Zy'-Y\,z')\left(x^{'2}+y^{'2}+z^{'2}+Xx'+Yy'+Zz'\right)-{\frac {D}{M}}\;y'z'&=0.\end{aligned}}$

Nous avons déjà vu ce qui résulte de la première quand on fait $X=p,$ $Y=q,$ $Z=0$ et qu’elle devient

$(qx'-py')\left(x^{'2}+y^{'2}+z^{'2}+px'+qy'\right)-{\frac {D''}{M}}x'y'=0\,;$

alors l’équation de la surface conique se réduit à

$(Dpy'+D'qx')z'=0,$

et les deux autres équations du troisième degré se changent en

${\begin{aligned}\left[x^{'2}+y^{'2}+z^{'2}+\left(p-{\frac {D'}{Mp}}\right)x'+qy'\right]z'&=0,\\\left[x^{'2}+y^{'2}+z^{'2}+px'+\left(q+{\frac {D}{Mq}}\right)y'\right]z'&=0,\end{aligned}}$

qui se décomposent chacune en deux facteurs, dont l’un $z'=0$ représente dans les deux cas le plan des $xy,$ et dont l’autre donne une surface sphérique passant toujours par le point $A,$ et dont le centre a pour coordonnées, à partir de ce point, $-{\frac {1}{2}}\left(p-{\frac {D'}{Mp}}\right),\ -{\frac {1}{2}}q,$ dans le premier cas, et $-{\frac {1}{2}}p,$ $-{\frac {1}{2}}\left(q+{\frac {D}{Mq}}\right),$ dans le second.

Si l’on prend le second facteur $z'=0$ de ces deux équations du troisième degré, il rendra identique celle de la surface conique, et les centres de rotation des axes permanens