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$q^{2}-{\frac {D}{D'}}p^{2}=-{\frac {E}{D'}}\,;$ on a donc $\pm {\frac {b^{2}}{a^{2}}}=-{\frac {D}{D'}},$ et $q^{2}-{\frac {D}{D'}}p^{2}=\pm b^{2}.$ En substituant ces valeurs dans celle que nous venons de trouver pour le diamètre de la circonférence correspondante, après qu’on l’a écrite ainsi,

${\frac {{\cfrac {D}{M}}+q^{2}-{\cfrac {D}{D'}}p^{2}}{\sqrt {q^{2}+{\cfrac {D^{2}}{D^{'2}}}p^{2}}}},$

elle devient

${\frac {{\cfrac {D}{m}}\pm b^{2}}{n}},$

la normale $n$ se rapportant au même axe principal auquel est relative la différence $D$ des momens d’inertie des deux autres, et $b$ étant celui des deux demi axes de la section conique qui est perpendiculaire à ce même axe principal.

Nous avons déjà remarqué qu’it existait deux autres surfaces dont l’intersection avec la surface conique détermine, en général, la même courbe des centres de rotation mais, lorsque le point $A$ est dans l’un des plans principaux et que la surface conique se change en deux plans, ces deux autres surfaces se partagent aussi chacune en deux nappes indépendantes l’une de l’autre, qui ne peuvent pas être combinées arbitrairement avec les deux plans qu’elles doivent rencontrer dans les points où se trouvent les centres de rotation, chaque nappe correspondant seulement à un de ces plans.

Pour discuter plus facilement toutes les circonstances de cette réduction des surfaces du troisième degré à des surfaces dont les équations sont moins élevées, je prends de nouvelles coordonnées $x',y',z',$ dont l’origine est au point donné $A$ et dont les axes sont parallèles à ceux des $x,y,z$ des calculs précédens, en sorte que $x=X+x',\ y=Y+y',\ z=Z+z',$