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dans le plan perpendiculaire à celui des $xy,$ il faudra la rapporter à l’ordonnée $z$ et à une abscisse $t$ prise sur l’intersection de ces deux plans et comptée depuis le point $A$. En faisant, pour abréger

${\sqrt {D^{2}p^{2}+D^{'2}q^{2}}}=P,$

on aura alors

${\begin{aligned}x-p&={\frac {Dpt}{P}},\quad y-q=-{\frac {D'qt}{P}},\\qx-py&={\frac {Dpqt+D'pqt}{P}}=-{\frac {D''pqt}{P}},\end{aligned}}$

et la valeur de $z^{2}$ se réduit à

$z^{2}={\frac {{\cfrac {DD'}{M}}+D'q^{2}-Dp^{2}}{\sqrt {D^{2}p^{2}+D^{'2}q^{2}}}}t-t^{2},$

équation d’une circonférence passant par le point donné $A$ et dont le diamètre est égal au coefficient de $t$ dans le premier terme de cette valeur de $z^{2}.$

Nous avons vu que les plans de ces circonférences sont normaux à une section conique qu’elles rencontrent chacune en un point par lequel passent toutes les droites situées dans .ces plans, qui sont des axes permanens. La normale de la section conique à ce même point, que nous désignerons par $n,$ a pour expression $q{\sqrt {1+\left({\frac {dq}{dp}}\right)^{2}}},$ ce qui donne $u={\sqrt {q^{2}+{\frac {D^{2}p^{2}}{D^{'2}}}}}$ quand on y remplace ${\frac {dq}{dp}}$ par sa valeur $-{\frac {Dp}{D'q}}\,;$ et si l’on nomme $a$ et $b$ les demi-axes de cette courbe, on aura pour son équation $q^{2}=\pm {\frac {b^{2}}{a^{2}}}p^{2}=\pm b^{2},$ qui doit être identique à $Dp^{2}-D'q^{2}=E,$ c’est-à-dire, à