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relatives aux deux axes principaux qui sont dans ce plan, on aura à ce point $X=p,$ $Y=q,$ $Z=0\,;$ l’équation de la surface conique devient alors

$(Dpy+D'qx+D''pq)z=0,$

et se décompose en deux facteurs représentant deux plans, dont l’un est le plan même des $xy,$ et l’autre a pour équation

$Dpy+D'qx+D''pq=0,$

qu’on peut écrire ainsi

$Dp(y-q)+D'q(x-p)=0,$

puisque

$D''=-D-D'.$

Ce plan passe donc par le point $A,$ il est perpendiculaire sur celui des $xy,$ et sa projection sur ce dernier plan forme avec l’axe des $x$ un angle dont la tangente est égale à

$-{\frac {D'q}{Dp}}.$

On en conclut aisément qu’il est perpendiculaire à la section conique tracée dans ce plan et passant par le point $A,$ dont l’équation est

$Dp^{2}-D'q^{2}=E.$

L’autre équation de la ligne des centres de rotation devient, pour les mêmes valeurs de $X,Y,Z,$

$z^{2}={\frac {D''}{M}}\cdot {\frac {(x-p)(y-q)}{qx-py}}-x(x-p)-y(y-q)\,;$

d’où il suit qu’on a pour la ligne des centres de rotation situés dans le plan des $xy,$ l’équation du troisième degré

$(qx-py)\left[x(x-p)-y(y-q)\right]-{\frac {D''}{M}}(x-p)(y-q)=0,$

et que, pour trouver celle de la ligne des centres qui sont