mais nous avons trouvé une autre valeur de
qui devient
![{\displaystyle u={\frac {cc'D''}{M(cY-c'X)}}-cX-c'Y-c''Z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7062b98f390a8b8ae52fcef82bdc54760cacb881)
lorsqu’on y substitue au lieu de
sa valeur
en éliminant
et multipliant par
on en conclut
![{\displaystyle u^{2}={\frac {D''}{M}}.{\frac {(x-X)(y-Y)}{Yx-Xy}}-Xx-Yy-Zz+X^{2}+Y^{2}+Z^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22ecbb089cb989613111a8d5e928ac8fc19bf695)
et en égalant ces deux valeurs de
on a l’équation
![{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-Xx-Yy-Zz={\frac {D''}{M}}.{\frac {(x-X)(y-Y)}{Yx-Xy}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90afa53bcbc4c914f737251449dc8e187e0c8bab)
qui représente une surface du troisième degré, dont l’intersection avec la surface conique donne la courbe cherchée.
On peut, dans cette équation, remplacer la quantité
![{\displaystyle {\frac {D''}{M}}.{\frac {(x-X)(y-Y)}{Yx-Xy}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5326ba753c042aad96895dc3a1838fbb0d17f2c)
par une de ces deux-ci,
![{\displaystyle {\frac {D'}{M}}.{\frac {(x-X)(z-Z)}{Xz-Zx}},\qquad {\frac {D}{M}}.{\frac {(y-Y)(z-Z)}{Zy-Yz}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cccdbc5b9537f79452376dc0a02d8eb33a43603a)
ces trois quantités étant égales en vertu de l’équation même de la surface conique, ainsi qu’il est aisé de s’en assurer par un calcul fort simple.
On peut déduire directement de l’équation que nous venons de trouver, pour la courbe des centres, les résultats auxquels nous sommes déjà parvenus dans le cas où le point
est dans un des trois plans principaux, en prenant ce plan pour celui des
Cette manière d’arriver à ces résultats a en outre l’avantage de montrer plus clairement à quoi ils tiennent.
Quand le point
est dans le plan des
si l’on représente, comme nous l’avons fait, par
et
ses coordonnées