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pour les secondes ellipses,

$D=H-G,\qquad D'=G-K,$

et

$(H-G)p^{2}+(K-G)q^{2}=E\,;$

enfin pour les secondes hyperboles,

$D=G-H,\qquad D'=H-K,$

et

$(H-G)p^{2}-(K-H)q^{2}=E.$

CHAPITRE III.

Équation de la ligne sur laquelle se trouvent tous les centres de
rotation des Axes permanens passant par un point donné.

Tous les axes permanens. qui passent par un point donné $A$ (fig. 1), dont $X,Y,Z$ sont les coordonnées relatives aux trois axes principaux, sont compris, comme nous l’avons vu, dans la surface conique du second degré qui a pour équation

$DXyz+D'Yxz+D''Zxy+DYZx+D'XZy$

$+D''XYz=0\,;$

d’où il suit que tous leurs centres de rotation se trouvent sur une courbe qui est comprise dans la même surface et qu’on peut représenter par le système formé de la réunion de cette équation avec une autre équation qu’il est facile d’obtenir de la manière suivante $x,y,z,$ étant les coordonnées du point $O$ appartenant à cette courbe, et $u$ la distance $AO,$ on a

$c={\frac {x-X}{u}},\qquad c'={\frac {y-Y}{u}},\qquad c''={\frac {z-Z}{u}},$

et

$u^{2}=(x-X)^{2}+(y-Y)^{2}+(z-Z)^{2}\,;$