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l’ellipse que nous venons de déterminer, $G$ est la plus petite des trois quantités $G,H,K\,;$ mais, dans l’ellipse, $K$ est la plus grande des trois, et dans l’hyperbole, c’est $H.$ Pour désigner les mêmes quantités par les mêmes lettres dans les deux cas, il est plus commode d’adopter les dénominations relatives à l’ellipse, où l’ordre alphabétique suit l’ordre des grandeurs relatives à ces trois quantités ; alors il faut écrire, dans l’équation de l’hyperbole, $H$ au lieu de $K,$ et $K$ au lieu de $H\,;$ elle devient ainsi

$(K-H)p^{2}-(H-G)q^{2}={\frac {(K-H)(H-G)}{M}},$

ou

${\frac {Mp^{2}}{H-G}}-{\frac {Mq^{2}}{K-H}}=1\,;$

ce qui montre que le demi-axe transverse de cette hyperbole a pour valeur ${\sqrt {\frac {H-G}{M}}},$ c’est-à-dire qu’il est égal à la distance du centre au foyer de l’ellipse, en sorte que ses sommets sont aux foyers de l’ellipse. Son demi-axe conjugué a pour valeur ${\sqrt {\frac {K-H}{M}}},$ et celle de la distance du centre au foyer de cette hyperbole est par conséquent

${\sqrt {{\frac {H-G}{M}}+{\frac {K-H}{M}}}}={\sqrt {\frac {K-G}{M}}},$

qui est aussi la valeur du demi-grand axe de l’ellipse ; en sorte que les sommets de cette ellipse sont aux foyers de l’hyperbole. Ces deux courbes sont d’ailleurs situées dans deux plans rectangulaires entre eux l’ellipse, dans celui où sont toutes les premières ellipses, et qui est, comme nous l’avons vu, perpendiculaire à l’axe principal dont le moment d’inertie est le plus petit ; et l’hyperbole, dans celui qui est perpendiculaire à l’axe principal dont le moment d’inertie est intermédiaire entre les deux autres, le seul où les sections