Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 5.djvu/144

À l’égard de celui des mêmes axes permanens dont le moment d’inertie est un minimum dans les deux premiers cas, et un maximum dans le second, il est évident, puisque $KL$ et $LO$ sont dans un rapport constant pour chaque plan directeur, que ce sera l’axe permanent pour lequel $LO$ aura la plus grande valeur et deviendra le diamètre $LO'$ de la circonférence $LOO',$ en sorte que l’axe permanent correspondant est l’intersection du plan directeur avec le plan des $xy.$

Lorsque le diamètre $LO'$ de la circonférence sur laquelle sont situés tous les centres de rotation des axes permanens d’un même plan directeur est nul, ces centres sont tous au même point $L\,;$ et comme on a pour tous $LO=0,$ leurs momens d’inertie deviennent tous égaux entre eux et à

$C+M\times {\overline {GL}}^{2}.$

Il suit des propriétés des axes permanens démontrées dans ce Mémoire, que cette double condition ne peut être satisfaite que par des axes permanens appartenant à un même plan directeur, et seulement, par conséquent, lorsque le point $L,$ qui devient leur centre commun de rotation, est dans un des trois plans principaux et qu’on a

$E={\frac {DD'}{M}},$

puisque

$LO'={\frac {{\cfrac {DD'}{M}}-E}{\sqrt {D^{2}p^{2}+D^{'2}q^{2}}}}.$

La valeur de $E$ étant ainsi déterminée, la courbe menée sur le plan des $xy$ par tous les points qui jouissent de cette propriété, est évidemment une des sections coniques normales à tous les plans directeurs parallèles à l’axe des $z\,;$ et cette courbe ne peut se trouver que parmi celles pour lesquelles $E$ et ${\frac {DD'}{M}}$ sont de même signe, c’est-à-dire parmi les pre-