Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 5.djvu/137

$(K-H)p^{2}+(K-G)q^{2}+E=0,$

et il faudra prendre pour $E$ une quantité négative arbitraire pour que cette équation soit possible. Comme les coefficiens de $p^{2}$ et de $q^{2}$ y sont affectés du même signe, elle représentera toujours une ellipse, et l’on aura dans ce plan une infinité d’ellipses que je désignerai sous le nom de premières ellipses. Au contraire, quand on prendra pour plan des $xy$ le plan principal dont le moment d’inertie est le plus petit, $D$ sera positif, $D'$ négatif ; et l’équation entre $p$ et $q$ devant alors s’écrire ainsi

$(H-K)p^{2}+(G-K)q^{2}-E=0,$

on voit qu’il faudra donner à $E$ une valeur positive arbitraire. On aura ainsi dans ce plan un système d’ellipses que je distinguerai de celles qui se trouvent sur l’autre plan principal en les nommant secondes ellipses.

Lorsque deux des trois momens d’inertie sont égaux entre eux il y a une infinité de plans principaux passant par l’axe principal dont le moment n’est pas égal à ceux des deux autres, et un plan principal qui lui est élevé perpendiculairement par le centre d’inertie si l’on prend un des premiers plans pour celui des $xy,$ et l’axe principal dont le moment d’inertie n’est pas égal aux deux autres pour l’axe des $x$ on aura $H=K$ et $D=0,$ en sorte que l’équation entre $p$ et $q$ deviendra

$q=\pm {\sqrt {\frac {E}{G-K}}},$

valeur constante arbitraire qui montre que les courbes que nous considérons se changent en des lignes droites parallèles à l’axe des $x$ et que tous les plans directeurs correspondans sont perpendiculaires à l’axe principal dont le moment d’inertie n’est pas égal aux deux autres ; et leurs centres de convergence, au lieu d’être déterminés, sont placés indifféremment à tous les points de leurs surfaces, comme on l’a déjà vu